Аффинная группа
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Аффи́нная гру́ппа (англ. affine group) — множество всех аффинных преобразований плоскости или пространства, которые составляют группу, обозначаемую Aff. Аффинная группа лежит в основе следующих геометрий[1][2][3][4]:
- обычная, точечная аффинная геометрия;
- линейчатая аффинная геометрия.
Аффинная группа Aff — подгруппа более широкой проективной группы. Аффинная группа состоит из всех проективных преобразований проективной плоскости или проективного пространства, оставляющих на месте соответственно фиксированную прямую или гиперплоскость[3][5].
В свою очередь, известные подгруппы аффинной группы следующие:
- центроаффинная группа — подгруппа аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n‑мерного аффинного пространства, которые имеют некоторую неподвижную точку — центр аффинного пространства[6][7];
- аффинная унимодулярная группа, или эквиаффинная группа SGL (n)[4], — подгруппа аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n‑мерного аффинного пространства, которые сохраняют площади и объёмы фигур[8][9][10][11][12];
- центроаффинная унимодулярная группа, или унимодулярная группа SL (n), — подгруппа унимодулярной и центроаффинной групп, множество всех аффинных унимодулярных преобразований n‑мерного аффинного пространства, которые сохраняют неподвижной одну точку, называемую центром аффинного пространства[9][6][7];
- ортогональная группа, или группа евклидовых движений[4], — подгруппа аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n‑мерного аффинного пространства, которые сохраняют фиксированную невырожденную квадратичную форму[13][14][15];
- группа вращений, или специальная ортогональная группа SO (n), — подгруппа ортогональной и центроаффинной унимодулярной групп, множество всех ортогональных преобразований n‑мерного аффинного пространства, которые сохраняют неподвижной одну точку[13][14].