Группа Ли
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Группой Ли над полем ( или ) называется группа , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над , причём отображения и , определённые так:
- ,
являются гладкими (в случае поля требуют голоморфности введённых отображений).
Другими словами, группой Ли называется топологическая группа, если она является параметрической и если функция, задающая закон умножения, является вещественно-аналитичной[1].
Всякая комплексная -мерная группа Ли является вещественной группой Ли размерности . Всякая комплексная группа Ли по определению является аналитическим многообразием, но и в вещественном случае на любой группе Ли существует аналитический атлас, в котором отображения и записываются аналитическими функциями.
Изучение групп Ли было начато независимо Вильгельмом Киллингом и Софусом Ли.
Группы Ли естественно возникают при рассмотрении непрерывных симметрий. Например, движения плоскости образуют группу Ли. Группы Ли являются в смысле богатства структуры лучшими из многообразий и как таковые очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют важную роль в геометрии, физике, теории дифференциальных уравнений.