Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Неопределённая ортогональная группа — это группа Ли всех линейных преобразований n-мерного вещественного векторного пространства, которые оставляют инвариантной невырожденную[англ.] симметричную билинейную форму[англ.] с сигнатурой , где . Размерность группы равна .
Неопределённая специальная ортогональная группа является подгруппой , состоящей из всех элементов с определителем 1. В отличие от определённого случая, группа не связна: она имеет две компоненты и две дополнительные подгруппы с конечным индексом, а именно связная и , которая имеет две компоненты — см. раздел Топология, в котором дано определение и доказан этот факт.
Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма. Перестановка p и q приводит к смене знака скалярного произведения, что даёт ту же самую группу. Если p или q равно нулю, группа изоморфна обычной ортогональной группе O(n). Далее мы предполагаем, что p и q положительны.
Группа определяется для векторных пространств над вещественными числами. Для комплексных пространств все группы изоморфны обычной ортогональной группе , поскольку преобразование изменяет сигнатуру формы.
В пространстве чётной размерности группа известна как расщепимая ортогональная группа.
Основным примером является группа (единичная компонента) линейных преобразований, сохраняющих единичную гиперболу[англ.]. Конкретно, это матрицы которые могут интерпретироваться как гиперболические вращения, так же как группа SO(2) может интерпретироваться как круговые вращения.
В физике группа Лоренца играет важную роль, будучи основой теории электромагнетизма и специальной теории относительности.
Можно определить , как группу матриц, так же как для классической ортогональной группы . Рассмотрим диагональную матрицу , заданную выражением:
Теперь мы можем определить симметричную билинейную форму[англ.] на формулой
где является стандартным скалярным произведением на .
Мы определяем тогда , как группу матриц, которые сохраняют эту билинейную форму[1]:
Более явно состоит из матриц , таких что[2]:
где является транспонированной матрицей для .
Получаем изоморфную группу (более того, сопряжённую подгруппу группы ) путём замены g любой симметричной матрицей с p положительными собственными значениями и q негативными значениями. Диагонализация этой матрицы даёт сопряжение этой группы со стандартной группой .
Если и p, и q положительны, то ни , ни не являются связными, так как имеют четыре и две компоненты соответственно. является четверной группой Клейна, в которой каждый множитель либо сохраняет, либо обращает ориентации на пространствах размерности p и q, на которой форма определена. Заметим, что обращение ориентации только на одном из этих подпространств обращает ориентацию на полном пространстве. Специальная ортогональная группа имеет компоненты , которые либо сохраняют обе ориентации, либо изменяют обе ориентации, в любом случае сохраняя полную ориентацию.
Единичная компонента[англ.] группы часто обозначается как и может быть отождествлена с множеством элементов в , которые сохраняют ориентации. Обозначение связано с обозначением для ортохронной группы Лоренца, где + указывает на сохранение ориентации на первой размерности (соответствующей времени).
Группа также не компактна, но содержит компактные подгруппы и , действующие на подпространствах, на которых форма определена. Фактически, является максимальной компактной подгруппой группы , в то время как является максимальной компактной подгруппой группы . Аналогично, является максимальной компактной подгруппой группы . Тогда с точностью до гомотопии пространства эти подгруппы являются произведением (специальных) ортогональных групп, из которых можно вычислить алгебраическо-топологические инварианты.
В частности, фундаментальная группа группы является произведением фундаментальных групп компонент и задается как:
p = 1 | p = 2 | ||
---|---|---|---|
q = 1 | |||
q = 2 | |||
q ≥ 3 |
В пространствах чётной размерности средние группы известны как расщепимые ортогональные группы, которые представляют особый интерес. Это расщепимая группа Ли[англ.], соответствующая комплексной алгебре Ли so2n (группа Ли расщепимой вещественной формы[англ.] алгебры Ли). Точнее, единичная компонента является расщеплением группы Ли, так как неединичные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле это противоположно определению ортогональной группы , которая является компактной вещественной формой[англ.] комплексной алгебры Ли.
Случай (1, 1) соответствует мультипликативной группе расщепляемых комплексных чисел.
В терминах группы лиева типа, то есть построения алгебраической группы из алгебры Ли, расщепимые ортогональные группы — это группы Шевалле, в то время как нерасщепимые ортогональные группы являются слегка более сложными конструкциями и являются группами Штейнберга.
Расщепимые ортогональные группы используются для построения обобщённого многообразия флагов[англ.] над неалгебраически замкнутыми полями.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.