Четверная группа Клейна
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Четверна́я гру́ппа Кле́йна — нециклическая конечная коммутативная группа четвёртого порядка, играет важную роль в общей алгебре, комбинаторике и геометрии. Обычно обозначается или (от нем. Vierergruppe — четверная группа). Впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году.
- Граф циклов четверной группы Клейна
- Граф Кэли четверной группы Клейна
Бинарная операция между элементами (единица — нейтральный элемент группы) задаётся следующей таблицей Кэли[1]:
Порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической. Является прямым произведением циклических групп второго порядка ; наименьшей по порядку нециклической группой.
Является простейшей группой диэдра [2]. Любая группа четвёртого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна. Симметрическая группа имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу и четверную группу Клейна , состоящую из подстановок [2].
Встречается во многих разделах математики, примеры изоморфных ей групп:
- множество с операцией побитовое исключающее ИЛИ;
- приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7 и по модулю 12, состоящая из классов 1, 5, 7, 11;
- группа симметрий ромба в трёхмерном пространстве, состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на и два отражения относительно диагоналей[3].
- группа поворотов тетраэдра на угол вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом)[4].