量子力學裏,量子系統的量子態可以用波函數(英語:Wave function)來描述。薛定諤方程式設定波函數如何隨着時間流逝而演化。[註 1]

本條目中,向量純量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小則用 來表示。
設想經典力學裏的諧振子 系統(A-B),一條彈簧的一端固定不動,另一端有一個帶質量圓球;在量子力學裏, (C-H)展示出同樣系統的薛定諤方程式的六個波函數解。橫軸坐標表示位置,豎軸坐標表示波函數機率幅的實部(藍色)或虛部(紅色)。(C-F)是定態,(G、H)不是定態。定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。

波函數 是一種複值函數,表示粒子在位置 、時間 機率幅,它的絕對值平方 是在位置 、時間 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋,波函數是「在某時間、某位置發生相互作用的機率幅」。[1][註 2]

歷史

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路易·德布羅意
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埃爾溫·薛定諤

在1920年代與1930年代,理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意埃爾溫·薛定諤等等,他們使用的數學工具是微積分,他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡馬克斯·玻恩等等,使用線性代數,他們建立了矩陣力學。後來,薛定諤證明這兩種方法完全等價。[2]:606–609

德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明,每一種微觀粒子都具有波粒二象性電子也不例外,具有這種性質。電子是一種波動,是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性,應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式,這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示,他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學光學之間的類比這方面的研究,在其中隱藏了一個奧妙的發現,即在零波長極限,物理光學趨向於幾何光學;也就是說,光波的軌道趨向於明確的路徑,而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為,在零波長極限,波傳播趨向於明確的運動,但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為,而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程式成功地推導出薛定諤方程式。[3]:207他又用自己設計的方程式來計算氫原子譜線,得到的答案與用玻爾模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果,寫為一篇論文,1926年,正式發表於物理學界[4][5]:163-167。從此,量子力學有了一個嶄新的理論平台。

薛定諤給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時,物理學者尚未能解釋波函數的涵義,薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度,但遭到失敗。1926年,玻恩提出機率幅的概念,成功地解釋了波函數的物理意義[3]:219-220。可是,薛定諤本人不贊同這種統計機率方法,和它所伴隨的非連續性波函數塌縮,如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似,薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年,他寫給玻恩的一封信內,薛定諤清楚地表明了這意見。[3]:479

1927年,道格拉斯·哈特里弗拉基米爾·福克在對於多體波函數的研究踏出了第一步,他們發展出哈特里-福克方程式來近似方程式的解。這計算方法最先由哈特里提出,後來福克將之加以改善,能夠符合鮑利不相容原理的要求。[6]:344-345

薛定諤方程式不具有勞侖茲不變性 ,無法準確給出符合相對論的結果。薛定諤試着用相對論的能量動量關係式,來尋找一個相對論性方程式,並且描述電子的相對論性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果,又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象,他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁,先行發表前面提到的非相對論性部分。[3]:196-197[7]:3

1926年,奧斯卡·克萊因沃爾特·戈爾登電磁相對作用納入考量,獨立地給出薛定諤先前推導出的相對論性部分,並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克萊因-戈爾登方程式[7]:3

1928年,保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學,他推導出狄拉克方程式,適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量,擁有自旋性質。[5]:167

概述

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在一維無限深方形阱內,粒子的能級與對應的波函數。
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在一維無限深方形阱內,找到能級為 的粒子的機率。

位置空間波函數

假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 ;其中, 是位置, 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的,而是機率性的。粒子的位置 在區間 (即 )的機率

其中, 是對於粒子位置做測量的時間。

換句話說, 是粒子在位置 、時間 的機率密度。

這導致歸一化條件:在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%:

動量空間波函數

在動量空間,粒子的波函數表示為 ;其中, 是一維動量,值域從 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的,而是機率性的。粒子的動量 在區間 (即 )的機率為

動量空間波函數的歸一化條件也類似:

兩種波函數之間的關係

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本圖展示一維零自旋自由粒子的波函數範例,左邊是位置空間波函數 的實部(紫色)和機率密度 (紅色),右邊是動量空間波函數 的實部(金色)和機率密度 (藍色)。在x-軸的某位置 或px-軸的某動量 顯示出的粒子顏色的不透明度,分別表示在那位置 或動量 找到粒子的機率密度(不是波函數的機率幅)。

位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的資訊相同,任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為[8]:108

波函數實質

量子力學中體系的態實際上由一個希爾伯特空間裏的 向量來描述。我們可以用任何不同的基來表示它。[9]

波函數 實際上是 在坐標本徵函數為基上展開的「分量」:

(這裏基向量 對應於本徵值為 的算符 的本徵函數)。[9]

動量空間波函數 用動量本徵函數的基展開時的展開係數:

(這裏基向量 對應於屬於本徵值 的本徵函數)[9][註 3]

我們也可以把 用能量本徵函數的基展開(簡單起見,假設譜是分立的):

(這裏基向量 對應屬於 的第 個本徵函數:) 。[9]

波函數 和係數的集合 ,所有這些所表示的都是同一個狀態,包含完全一樣的資訊——它們僅是描述同一向量的三種不同途徑而已[9]


薛定諤方程式

在一維空間裏,運動於位勢 的單獨粒子,其波函數滿足含時薛定諤方程式

其中,質量約化普朗克常數

不含時薛定諤方程式與時間無關,可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法,猜想 的函數形式為

其中, 是分離常數,稍加推導可以論定 就是能量 是對應於 本徵函數

代入這猜想解,經過一番運算,可以推導出一維不含時薛定諤方程式:

波函數的機率詮釋

波函數 是機率波。其模的平方 代表粒子在該處出現的機率密度,並且具有歸一性,全空間的積分

波函數的另一個重要特性是相干性。兩個波函數疊加,機率的大小取決於兩個波函數的相位差,類似光學中的楊氏雙縫實驗

波函數的本徵值和本徵態

在量子力學中,可觀察量 以算符 的形式出現。 代表對於波函數的一種運算。例如,在位置空間裏,動量算符 的形式為

可觀察量 的本徵方程式為

對應的 稱為算符 本徵值 稱為算符 本徵態。假設對於 的本徵態 再測量可觀察量 ,則得到的結果是本徵值

態疊加原理

假設對於某量子系統測量可觀察量 ,而可觀察量 的本徵態 分別擁有本徵值 ,則根據薛定諤方程式線性關係,疊加態 也可以是這量子系統的量子態:

其中, 分別為疊加態處於本徵態 機率幅

假設對這疊加態系統測量可觀察量 ,則測量獲得數值是 的機率分別為 期望值

定態

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描述諧振子的含時薛定諤方程式的三個波函數解。左邊:波函數機率幅的實部(藍色)或虛部(紅色)。右邊:找到粒子在某位置的機率,這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態,最下面橫排是疊加態

量子力學中,一類基本的問題是哈密頓算符 不含時間的情況。對於這問題,應用分離變數法,可以將波函數 分離成一個只與位置有關的函數 和一個只與時間有關的函數

將這公式代入薛定諤方程式,就會得到

則滿足本徵能量薛定諤方程式

例子

自由粒子

3D空間中的自由粒子,其波向量k角頻率ω,其波函數為:

無限深方形阱

粒子被限制在x = 0x = L之間的1D空間中,其波函數為:[8]:30-38

其中,是能量本徵值,是正整數,是質量。

有限位勢壘

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對於一個壘高為 V0 的位勢壘的散射。往左與往右的量子波的波幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數與反射係數的量子波都以紅色表示

在1D情況下,粒子處於如下勢壘中:

其波函數的定態解為(為常數)

量子點

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量子點中3D受束縛的電子波函數。如圖所示為方形和三角形量子點。方形量子點中的電子態更像s軌域p軌域。然而,由於不同的幾何形態導致不同的束縛,三角形量子點中的波函數則是多種軌域混合的結果。

量子點是在把激子在三個空間方向上束縛住的半導體納米結構。粒子在三個方向上都處在勢阱中。勢阱可以由於靜電勢(由外部的電極,摻雜,應變,雜質產生),兩種不同半導體材料的界面(例如:在自組量子點中),半導體的表面(例如:半導體納米晶體),或者以上三者的結合。量子點具有分離的量子化的能譜。所對應的波函數在空間上位於量子點中,但延伸於數個晶格週期中。其中的能階可以用類似無限深方形阱的模型來描述,能階位置取決於勢阱寬度。

參閱

參考文獻

註釋

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