質數
只能被1和自身整除且大於1的自然數 / 維基百科,自由的 encyclopedia
質數,又稱素數,指在大於1的自然數中,除了1和該數自身外,無法被其他自然數整除的數(也可定義為只有1與該數本身兩個正因數的數)。大於1的自然數若不是質數,則稱之為合數(也稱為合成數)。例如,5是個質數,因為其正因數只有1與5。7是個質數,因為其正因數只有1與7。而4則是個合數,因為除了1與4外,2也是其正因數。6也是個合數,因為除了1與6外,2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裏的核心地位:任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性,1被定義為不是質數,因為在因式分解中可以有任意多個1(如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解)。
各式各樣的數 |
基本 |
延伸 |
其他 |
古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在(歐幾里得定理)。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單,但需時較長:設被測試的自然數為,使用此方法者需逐一測試2與之間的質數,確保它們無一能整除。對於較大或一些具特別形式(如梅森數)的自然數,人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數(例如282589933-1是直至2024年4月為止已知最大的梅森質數[1],也是直至2024年4月為止已知最大的質數)。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式,甚至研究質數分佈時相當有力的篩法也會碰到奇偶性問題(也就是多種篩法都無法區別質數跟兩個質數相乘的合數的問題),但已建構了質數的分佈模式(亦即質數在大數時的統計模式)。19世紀晚期得到證明的質數定理指出:一個任意自然數n為質數的概率反比於其數位(或的對數)。
許多有關質數的問題依然未解,如哥德巴赫猜想(每個大於2的偶數可表示成兩個質數之和)及孿生質數猜想(存在無窮多對相差2的質數)。這些問題促進了數論各個分支的發展,主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裏的幾個程序中,如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裏形成了各種廣義化的質數概念,主要出現在代數裏,如質元素及質理想。