Espectre (matemàtiques)
From Wikipedia, the free encyclopedia
En anàlisi funcional, el concepte d'espectre d'un operador afitat és una generalització del concepte de valor propi per matrius. Més específicament, hom diu que un nombre complex λ pertany a l'espectre d'un operador lineal afitat T si λI − T no és invertible, on I és l'operador identitat. L'estudi dels espectres i de les seves propietats es coneix com a teoria espectral, que té nombroses aplicacions, entre d'elles la formulació matemàtica de la mecànica quàntica.
Aquest article tracta sobre anàlisi funcional. Vegeu-ne altres significats a «Espectre». |
L'espectre d'un operador en un espai vectorial de dimensió finita és precisament el conjunt dels seus valors propis. Això no obstant, un operador de dimensió infinita pot tenir elements addicionals en el seu espectre, i fins i tot pot no tenir valors propis. Per exemple, considerem l'operador de decalatge cap a la dreta R en l'espai de Hilbert ℓ²,
Aquest operador no té valors propis, ja que si Rx=λx llavors podem veure que, expandint aquesta expressió, x1=0, x₂=0, etc. Per altra banda, 0 pertany a l'espectre perquè l'operador R − 0 (és a dir, el mateix R) no és invertible: no és exhaustiu, perquè cap vector amb la primera component no-nul·la no té antiimatge. De fet, tot operador lineal afitat en un espai de Banach complex té necessàriament un espectre no buit.
La noció d'espectre s'estén a operadors no afitats definits densament. En aquest cas, hom diu que un nombre complex λ pertany a l'espectre d'un tal operador T:D→X (on D és dens a X) si no existeix cap invers afitat (λI − T)−1:X→D. Si T és un operador tancat (la qual cosa inclou el cas en què T és un operador afitat), si l'invers existeix llavors és automàticament afitat.
L'espai d'operadors lineals afitats B(X) en un espai de Banach X és un exemple d'àlgebra de Banach unitària. Com que la definició d'espectre no fa referència a cap propietat de B(X), llevat de les pròpies de ser àlgebra de Banach, la noció d'espectre es pot generalitzar a aquest context utilitzant exactament la mateixa definició.