Congruencia (teoría de números)
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Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural , llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación:
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que se expresa diciendo que: es congruente con módulo . De donde se define que dos números son congruentes en módulo «» (sí y solo si) :
- divide exactamente a la diferencia de y
o lo que es lo mismo, dejan el mismo resto en la división por . Además, también se puede afirmar que:
- se puede escribir como la suma de y un múltiplo de , pues si: » (entonces), , para algún
El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo y cada entero no divisible por tenemos la congruencia:
Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por y , es decir puede ser cualquier entero de las sucesiones y . Contrariamente la congruencia , no tiene solución.
La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.