Flujo de acortamiento de una curva
proceso que modifica una curva en el plano / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
En matemáticas, el flujo de acortamiento de una curva es un proceso que modifica una curva en el plano moviendo sus puntos perpendicularmente a la curva a una velocidad (distancia por cada ciclo) proporcional a su curvatura. El flujo de acortamiento de la curva es un ejemplo de flujo geométrico y es el caso unidimensional del flujo de curvatura promedio. Otros nombres para el mismo proceso incluyen flujo de acortamiento euclidiano, flujo de calor geométrico,[1] y evolución de la longitud del arco.
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Como los puntos de cualquier curva simple cerrada suave se mueven de esta manera, la curva sigue siendo simple y suave. Pierde área a un ritmo constante, y su perímetro disminuye lo más rápido posible para cualquier evolución de curva continua. Si la curva no es convexa, su curvatura absoluta total decrece monótonamente, hasta volverse convexa. Una vez adoptada la forma convexa, la razón isoperimétrica de la curva disminuye a medida que la curva converge hacia una forma circular, antes de colapsar en un solo punto de singularidad. Si dos curvas cerradas suaves simples disjuntas evolucionan, permanecen disjuntas hasta que una de ellas colapsa en un punto. El círculo es la única curva cerrada simple que mantiene su forma bajo el proceso de flujo de acortamiento, pero algunas curvas que se cruzan entre sí o tienen una longitud infinita mantienen su forma, incluida la curva de la parca, una curva infinita que se traslada hacia arriba, así como las espirales que giran sobre sí mismas manteniendo el mismo tamaño y forma.
Se puede calcular numéricamente una aproximación al flujo de acortamiento de la curva, aproximando la curva mediante un polígono y usando el método de las diferencias finitas para calcular el movimiento de cada uno de sus vértices. Los métodos alternativos incluyen calcular una convolución de vértices de polígonos y luego volver a muestrear los vértices en la curva resultante, o aplicar repetidamente un filtro de mediana a una imagen digital cuyos píxeles en blanco y negro representan el interior y el exterior de la curva.
El flujo de acortamiento de una curva se estudió originalmente como modelo para el recocido de láminas de metal. Más adelante, se aplicó en el análisis de imágenes para dar una representación de formas a múltiples escalas. También puede modelar sistemas de reacción-difusión y el comportamiento de un autómata celular. El flujo de acortamiento de curvas se puede usar para encontrar geodésicas cerradas en variedades de Riemann y como modelo para el comportamiento de flujos de dimensiones superiores.