Série (mathématiques)
suite des sommes partielles des termes d'une suite d'objets mathématiques / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
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En mathématiques, la notion de série permet de généraliser la notion de somme à une infinité de nombres. Il s'agit d'additionner des nombres, les uns après les autres, dans un ordre donné. Voici deux exemples de séries :
- 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯: on ne peut pas a priori donner à cette somme infinie une valeur réelle (on parle de série divergente) mais elle peut être prise égale à l'infini.
- : la valeur de cette somme infinie peut être bien définie comme valant 1, comme le montre l'animation ci-contre (on parle de série convergente).
La notion de série peut être étendue à des sommes infinies dont les termes ne sont pas nécessairement des nombres, mais par exemple des vecteurs, des fonctions ou des matrices. Quand les termes de la suite sont des nombres réels ou complexes, on parle de série numérique.
Plus précisément, étant donné une suite de terme général un, étudier la série de terme général un, c'est étudier la suite obtenue en prenant la somme des premiers termes de la suite (un), autrement dit la suite de terme général Sn défini par[1] :
L'étude d'une série peut passer par la recherche d'une écriture simplifiée des sommes finies en jeu et par la recherche éventuelle d'une limite finie quand n tend vers l'infini. Quand cette limite existe, la série est dite convergente, et la limite de quand tend vers l'infini est alors appelée somme de la série, et notée .
Le calcul d'une somme finie ne pouvant pas toujours être simplifié, un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non) d'une série sans réaliser explicitement les calculs[2]. Toutefois, certaines règles de calcul sur les sommes finies ne sont pas nécessairement conservées par la notion de somme d'une série, comme la commutativité ou l'associativité, c'est-à-dire la possibilité de permuter les termes de la suite ou de regrouper certains d'entre eux sans modifier ni la convergence ni la somme de la série.
Les séries permettent en mathématiques d'approximer des nombres. En informatique, elles permettent d'évaluer la complexité d'algorithmes[3].