In teoria dei numeri, la funzione di Liouville, indicata con e così chiamata in onore di Joseph Liouville, è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa definita come
dove si intende che sia un intero positivo e la sua fattorizzazione sia
Equivalentemente, la funzione di Liouville si può definire come:
dove è il numero di fattori primi di contati nella loro molteplicità[1].
Dal momento che è additiva, è completamente moltiplicativa. Inoltre e quindi La funzione di Liouville soddisfa le seguenti identità:
La funzione di Liouville è collegata alla funzione zeta di Riemann dalla seguente formula:
La serie di Lambert per la funzione di Liouville è
con la somma a sinistra che è un caso particolare della funzione theta di Ramanujan e è una delle funzione theta di Jacobi.
La funzione di Liouville è correlata alla funzione di Möbius dalla seguente identità: