അവകലജം
From Wikipedia, the free encyclopedia
വാസ്തവികസംഖ്യകൾ ( real numbers) മൂല്യമായി എടുക്കുന്ന ചരത്തിന്റെ ( variable) ഒരു ഫലനം ( function) ഉണ്ടെന്നു കരുതുക. ഈ ഫലനത്തിലേയ്ക്ക് ഓരോ സംഖ്യ ഇൻപുട്ട് കൊടുക്കുമ്പോളും മറ്റൊരു സംഖ്യ ഔട്ട്പുട്ട് ആയി തിരിച്ചുകിട്ടുന്നു. വേറൊരു തരത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ ഇൻപുട്ട് മാറും തോറും ഫലനത്തിന്റെ ഔട്ട്പുട്ടും മാറുന്നു. ഇൻപുട്ടിൽ ഉള്ള ഓരോ ചെറിയ മാറ്റത്തിനനുസരിച്ച് ഒരു ഫലനത്തിന്റെ ഔട്ട്പുട്ടിൽ എന്തുമാത്രം മാറ്റമുണ്ടാകുന്നു എന്ന വിലയാണ് ആ ഫലനത്തിന്റെ അവകലജം.( derivative).[1]
ഉദാഹരണത്തിന് ചലിച്ചുകൊണ്ടിരിയ്ക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഒരു വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനം (position) സമയത്തിനനുസരിച്ച് മാറിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കുന്നു. ഇവിടെ സമയത്തിന്റെ ഒരു ഫലനമാണ് സ്ഥാനം എന്ന് പറയാം. ഇനി സമയത്തിലുള്ള ഓരോ ചെറിയ വ്യത്യാസത്തിനും സ്ഥാനത്തിൽ എന്തു വ്യത്യാസം വരുന്നുണ്ടെന്നു നമുക്കു കണക്കാക്കാം. (എങ്ങനെ എന്നത് പിന്നീട് കാണാം). ഈ വ്യത്യാസത്തെയാണ് വസ്തുവിന്റെ പ്രവേഗം ( velocity) എന്ന് വിളിയ്ക്കുന്നത്.[2] (പൊതുവെ സംസാരഭാഷയിലെ വേഗത / സ്പീഡ് എന്നതിന്റെ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ കുറച്ചുകൂടി കൃത്യതയാർന്ന ഒരു നിർവചനമാണ് പ്രവേഗം. വേഗതയ്ക്ക് ദിശയില്ല, പ്രവേഗത്തിന് ഒരു നിശ്ചിത ദിശയുണ്ട്). ഇവിടെ ഒരു കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കാനുള്ളത് പൊതുവേ പറയുമ്പോൾ പ്രവേഗം എപ്പോഴും സ്ഥിരമായിരിയ്ക്കണം എന്നില്ല. അതായത് പ്രവേഗവും സമയത്തിന്റെ ഒരു ഫലനമായി കണക്കാക്കാം. അതായത് ഒരു ഫലനത്തിന്റെ അവകലജം മറ്റൊരു ഫലനം ആയിരിയ്ക്കും.[3]
ഒരു ചരത്തെ അടിസ്ഥാനമായുള്ള ഒരു ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ ആ ഫലനത്തിന് ഒരു സ്പർശരേഖ ( tangent) വരച്ചാൽ അതിന്റെ ആനതിയും ( slope) ആ ഫലനത്തിന്റെ അതേ ബിന്ദുവിലെ അവകലജത്തിന്റ വിലയും തുല്യമായിരിയ്ക്കും.[4] ഒരു ഫലനത്തിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിലും വെച്ച് ഫലനത്തിന്റെ ഔട്ട്പുട്ട് വില എത്രമാത്രം മാറുന്നു എന്നുള്ളതിന്റെ വിലയാണ് അവകലജം. അതിനാൽ അവകലജത്തെ ഒരു ഫലനത്തിന്റെ ഒരോ ബിന്ദുവിലെയും തൽസ്ഥലമാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് എന്നും വിശേഷിപ്പിയ്ക്കാറുണ്ട്.
അവകലജം കണ്ടുപിടിയ്ക്കുന്ന പ്രക്രിയയാണ് അവകലനം (differentiation).
ഇനി ഫലനത്തിന്റെ മേൽപ്പറഞ്ഞ നിർവചനത്തെ വിപുലീകരിയ്ക്കാം. ഫലനം ഒരു ചരത്തിന്റെ തന്നെ ആകണമെന്നില്ല. വാസ്തവികസംഖ്യകൾ വിലകളായി എടുക്കുന്ന പല ചരങ്ങളുടെയും ആകാം. ഇത്തരം ഫലനങ്ങളുടെ അവകലജം കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഓരോ ചരത്തെയായി പ്രത്യേകം എടുത്തു അവകലനം ചെയ്യേണ്ടിവരും. ഓരോ ബിന്ദുവിലും ഈ ഭാഗിക അവകലനം ( partial differentiation) ചെയ്തുകിട്ടുന്ന വിലകൾ ഒരു സംഖ്യ ആകില്ല, പകരം ഒരു സദിശം അഥവാ വെക്റ്റർ ആകും. ഇതിനെ ഗ്രേഡിയന്റ് വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിയ്ക്കുന്നു.[5]