Driehoek van Pascal
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
De driehoek van Pascal[1] is een rangschikking van de binomiaalcoëfficiënten in rijen voor toenemende beginnend met en op elke rij de binomiaalcoëfficiënten voor de mogelijke waarden van , lopend van tot en met . In de driehoek komt de eigenschap tot uitdrukking dat elke binomiaalcoëfficiënt de som is van de twee bovenliggende. De driehoek is naar de Franse wiskundige Blaise Pascal (1623 - 1662) genoemd, die de eerste Europeaan was die ermee rekende.
Het element in rij op de positie is dus:
- ,
voor en . De elementen kunnen recursief worden gedefinieerd door:
en
De getallen in de driehoek geven het aantal wegen aan vanaf de top naar de plaats van zo'n getal, waarmee ook de besproken eigenschap verklaard is. Omdat er steeds 2 keuzen zijn om de weg naar onder te vervolgen is de som van de getallen op een rij de overeenkomstige een macht van 2.
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 Eerste 11 rijen
Pascal ordende de getallen van de driehoek overigens in een rechthoekig schema:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 4 10 20 35 56 84 120 1 5 15 35 70 126 210 1 6 21 56 126 252 1 7 28 84 210 1 8 36 120 1 9 45 1 10 1
en noemde het getal op het kruispunt van rij en kolom , zodat
en de genoemde eigenschap luidt: