Variëteit (wiskunde)
topologische ruimte die lokaal lijkt op de Euclidische ruimte / Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de differentiaalmeetkunde en differentiaaltopologie, deelgebieden van de wiskunde, is een variëteit een topologische ruimte die lokaal, dat wil zeggen in een voldoend klein deel, op de euclidische ruimte, de ruimte die niet is gekromd, van een specifieke dimensie lijkt.[1] Een lijn, maar ook een cirkel zijn dus eendimensionale variëteiten, een achtvormige figuur zoals de lemniscaat van Bernoulli niet, want in het dubbelpunt, het punt waar de doorgaande lijn zichzelf snijdt, is er, hoe groot de schaal ook wordt gekozen, hoezeer men ook op dit punt inzoomt, geen overeenkomst met een eendimensionale euclidische ruimte. Een vlak en een boloppervlak zijn tweedimensionale variëteiten. Kijken we op aarde om ons heen, dan lijkt de aarde vlak en zullen we niet direct opmerken dat de aarde bol is. Er bestaan ook in alle hogere dimensies variëteiten, zoals de 3- en de 4-variëteit. Ieder punt van een -dimensionale variëteit heeft een omgeving die homeomorf is met een open deelverzameling van de -dimensionale ruimte .
Een variëteit beschrijft op een aantal verschillende manieren de gekromde ruimte. Alle definities delen het volgende idee:
- Een variëteit is een topologische ruimte die in voldoende kleine omgevingen van elk punt lijkt op de -dimensionale euclidische ruimte, maar die globaal een andere structuur kan hebben.
Hoewel variëteiten in de buurt van ieder punt in ieder geval lokaal op euclidische ruimten lijken, kan de globale structuur van een variëteit ingewikkelder zijn. Elk punt op het tweedimensionale boloppervlak wordt bijvoorbeeld omgeven door een cirkelvormig gebied, dat kan worden afgeplat tot een cirkelvormig gebied van het vlak, zoals in een geografische kaart. De structuur van het boloppervlak in zijn geheel, komt niet met die van een vlak overeen: in de taal van de topologie zijn zij niet homeomorf. De structuur van een variëteit is gecodeerd door een verzameling van kaarten die samen een atlas vormen, zoals een geografische atlas die uit kaarten van het oppervlak van de aarde bestaat. Het bol oppervlak is een tweedimensionale variëteit, omdat het oppervlak door een verzameling van tweedimensionale kaarten kan worden weergegeven.
Het "lokaal lijken op" kan verder gepreciseerd worden door bijectieve topologische afbeeldingen, dat worden kaarten genoemd, waarvan de samenstelling op de overlappingsgebieden van hun domeinen tot een bepaalde klasse moet behoren. Men spreekt naargelang de gekozen klasse van een topologische variëteit, of homeomorfisme, van een differentieerbare of gladde variëteit, of diffeomorfismen, of van een complexe variëteit, of complex differentieerbaar homeomorfisme. Sommige definities vereisen nog aanvullende structuur, bijvoorbeeld een riemann-variëteit is een gladde variëteit met een positief definiete kwadratische vorm.
Variëteiten staan centraal in veel delen van de meetkunde en de moderne wiskundige natuurkunde, omdat het met variëteiten mogelijk is gecompliceerde structuren uit te drukken en te begrijpen in termen van de relatief goed begrepen eigenschappen van eenvoudigere ruimten. Een variëteit is bijvoorbeeld typisch uitgerust met een differentieerbare structuur die het toelaat om te differentiëren en te integreren en een riemann-metriek, die waarmee afstanden en hoeken mee kunnen worden bepaald. Symplectische variëteiten fungeren binnen de klassieke mechanica als faseruimten in het hamiltonformalisme, terwijl vierdimensionale lorentz-variëteiten de ruimtetijd in de algemene relativiteitstheorie modelleren.
Het Engelse manifold, menigvuldigheid, wordt ook in Nederlandse teksten vaak als synoniem van variëteit gebruikt. Het Engels voor algebraïsche variëteit is algebraic variety.