Eksponentialfunksjon
From Wikipedia, the free encyclopedia
Eksponentialfunksjonen er i matematikk en elementær funksjon på formen[1]
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Exponential_function_defn.png)
der og
er konstanter. Funksjonsargumentet inngår som eksponent i en potens med
som grunntall eller basis. Spesielt viktig er funksjonen med grunntall lik eulertallet
:
For å presisere grunntallet kalles funksjonen
noen ganger den naturlige eksponentialfunksjonen.[2][3]
Denne funksjonen kan defineres på en rekke alternative måter, for eksempel som en uendelig rekke. Funksjonen er generelt definert for komplekse grunntall og komplekse argument, men er i mange fremstillinger og anvendelser begrenset til å være definert bare for reelle tall. Den reelle funksjonen er invers funksjon til den naturlige logaritmefunksjonen, og dette kan brukes som alternativ definisjon. I kompleks analyse er eksponentialfunksjonen nært knyttet til trigonomertriske funksjoner. Det er også mulig å definere lignende funksjoner for andre typer argument, som kvadratiske matriser og operatorer.
Nær sammenheng mellom den generelle formen og funksjonen med grunntall gjør at det ofte er tilstrekkelig å studere eller bruke den naturlige eksponentialfunksjonen. For relle funksjoner er sammenhengen
der er den naturlige logaritmen til
. I kompleks analyse er
generelt flertydig, mens
er entydig.
Eksponentialfunksjonen har en rekke egenskaper som gjør den til en svært viktig funksjon i matematikk, naturvitenskap og teknologi. En sentral egenskap i mange anvendelser er at funksjonen er lik sin egen derivert
. Mer generelt vil funksjonen
være proporsjonal med sin egen derivert, og denne egenskapen omtales som «loven om naturlig vekst» eller «loven om eksponentiell vekst».
Mange viktige egenskaper til eksponentialfunksjonen ble kartlagt av Leonhard Euler på 1700-tallet.