Ikke-euklidsk geometri
From Wikipedia, the free encyclopedia
I ikke-euklidsk geometri gjelder ikke Euklids femte aksiom, det såkalte parallellaksiomet (velger man å godta parallellaksiomet får man euklidsk geometri). Betegnelsen brukes generelt om geometri som bygger på andre aksiomer enn den euklidske.
Mer spesielt brukes betegnelsen om de geometrier hvor parallellaksiomet i den euklidske geometri er erstattet med et annet aksiom (som ikke står i strid med de øvrige euklidske aksiomer). Av disse ikke-euklidske geometrier finnes det to hovedtyper. I hyperbolsk geometri kan det gjennom hvert punkt utenfor en rett linje trekkes uendelig mange linjer som ikke skjærer den gitte linjen. Disse kan da i utgangspunktet alle sies å være parallelle linjer. Men nærmere betraktninger viser at det finnes to grenseparalleller som skiller de linjene som ikke skjærer den gitte linjen, fra dem som skjærer den. Det viser seg da hensiktsmessig å kalle disse to grenseparallellene for de ekte parallellene. Man sier derfor at i det hyperbolske planet kan det trekkes to parallelle linjer gjennom et punkt utenfor en gitt linje. Denne ikke-euklidske geometrien ble funnet av Gauss, Bolyai og Lobatjevskij på midten av 1800-tallet. Summen av vinklene i en trekant er mindre en 180° i denne geometrien.
Den andre hovedtypen er elliptisk geometri hvor det ikke finnes parallelle linjer i det hele tatt. Alle linjer skjærer hverandre i et punkt. Dette er en mer kompakt utgave av vanlig sfærisk geometri som man har på en kuleflate. Linjer i denne geometrien er storsirkler som alle skjærer hverandre. Summen av vinklene i en sfærisk trekant er større en 180°.
Forskjellene mellom disse geometritypene kan også beskrives på en annen måte ved å betrakte de to linjene i et plan som begge står vinkelrett på en tredje linje. I euklidsk geometri er da de to linjene parallelle med en fast avstand seg imellom. Derimot i hyperbolsk geometri "bøyer de av" fra hverandre med økende avstand i takt med at avstanden fra skjæringspunktet med den felles vinkelrette linjen øker. Disse linjene vil ikke skjære hverandre, men er heller ikke grenseparalleller. I stedet sies de å være ultraparallelle eller hyperparallelle. I elliptisk geometri vil to slike linjer "bøyes" mot hverandre og til slutt skjære hverandre. Det skyldes igjen at det ikke eksisterer parallelle linjer i elliptisk geometri.
I den euklidske geometri (av og til kalt parabolsk geometri) finnes det alltid én, og bare én, parallell. De ikke-euklidske geometriene representerer en viktig milepæl i matematikkens historie, idet de illustrerer at det finnes logisk konsistente geometriske systemer som tilsynelatende står i strid med de geometriske forestillinger vi får gjennom sanseerfaringer.