Аналитическая функция
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Аналитическая (голоморфная) функция — функция, которая может быть представлена степенным рядом:
где — комплексные коэффициенты, не зависящие от комплексной переменной [1].
Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.
Однозначная функция называется аналитической в точке , если сужение функции на некоторую окрестность является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке , то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки .
Однозначная аналитическая функция одной комплексной переменной — это функция , для которой в некоторой односвязной области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из четырёх равносильных условий:
- Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится, и его сумма равна (аналитичность в смысле Вейерштрасса).
- В каждой точке выполняются условия Коши — Римана и Здесь и — вещественная и мнимая части рассматриваемой функции. (Аналитичность в смысле Коши — Римана.)
- Интеграл для любой замкнутой кривой (аналитичность в смысле Коши).
- Функция является голоморфной в области . То есть комплексно дифференцируема в каждой точке .
В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность этих определений.