Деление с остатком
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре и криптографии. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом[1]. Пусть и — целые числа, причём Деление с остатком («делимого») на («делитель») означает нахождение таких целых чисел и , что выполняется равенство:
Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: называется неполным частным от деления, а — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел, то есть существует единственное решение уравнения при заданных выше условиях. Если остаток равен нулю, говорят, что нацело делится на
Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последнего термина стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце или группе вычетов по аналогии со сложением или умножением по модулю).
- Примеры
- При делении с остатком положительного числа на получаем неполное частное и остаток .
- Проверка:
- При делении с остатком отрицательного числа на получаем неполное частное и остаток .
- Проверка:
- При делении с остатком отрицательного числа на получаем неполное частное и остаток .
- Проверка:
- При делении с остатком положительного числа на получаем неполное частное и остаток .
- Проверка:
- При делении с остатком числа на получаем неполное частное и остаток , то есть деление выполняется нацело.
Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.