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混沌理论

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数值r = 28,σ = 10,b = 8/3的劳伦兹引子图形。
数值r = 28,σ = 10,b = 8/3的劳伦兹引子图形。
一个双杆摆动画呈现混沌行为。 从开始略微不同的初始条件摆杆将导致一个完全不同的轨迹。双杆摆是具有混沌方案最简单的动力系统之一。
一个双杆摆动画呈现混沌行为。 从开始略微不同的初始条件摆杆将导致一个完全不同的轨迹。双杆摆是具有混沌方案最简单的动力系统之一。
杜芬方程吸引子图列
杜芬方程吸引子图列
蔡氏电路 吸引子
蔡氏电路 吸引子
Rossler 吸引子
Rossler 吸引子
陈氏吸引子
陈氏吸引子

混沌理论Chaos theory)是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔、周期运动与非周期运动相互纠缠,以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统保守系统中,混沌运动有不同表现,前者有吸引子,后者无(也称含混吸引子)。

从20世纪80年代中期到20世纪末,混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注,引发了全球混沌热。混沌,也写作浑沌(比如《庄子》)。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种类似随机的行为或性态。确定性是指方程不含随机项的系统,也称动力系统。典型的模型有单峰映象迭代系统,洛伦兹微分方程系统,若斯叻吸引子杜芬方程蔡氏电路陈氏吸引子等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱洛伦兹上田睆亮日语上田睆亮费根堡姆约克李天岩斯美尔芒德勃罗郝柏林等。混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究,他提出了同宿轨道英语Homoclinic orbit异宿轨道英语Heteroclinic orbit的概念,他也被称为浑沌学之父。

混沌行为可以在许多自然系统中被观测到,例如天气和气候。[1]对于这个行为的研究,可以通过分析混沌数学模型,或者通过诸如递归图英语Recurrence plot庞加莱映射等分析技术。

定义

混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法,用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系,而必须用整体,连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述,古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论,主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中,科学家经过长期的探讨,逐一发现众多自然界中的规律,如大家熟知的万有引力杠杆原理相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述,并可以依据此公式准确预测物体的行径。

近半世纪以来,科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式,但是其行径却无法加以预测。如气象学家爱德华·诺顿·劳仑次发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化,产生所谓的“蝴蝶效应”。60年代,美国数学家史蒂芬·斯梅尔发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后,随后的发展并无一定的轨迹可循,呈现失序的混沌状态。

背景

1963年美国气象学家爱德华·劳仑次提出混沌理论(Chaos),非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象航空航天等领域的研究里有重大的作用。

应用

混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用,包括:数学生物学信息技术经济学工程学金融学哲学物理学政治学人口学心理学机器人学

多种系统的浑沌状态在实验室中得到观察,包括电路激光流体的动态,以及机械和电磁装置。在自然中进行的有对天气卫星运动、天体磁场生态学中的种群增长、神经元中的动作电位和分子振动的观察。

浑沌理论最成功的应用之一在于生态学中的雷克动态综合模型,在其中显示了受密度制约之下的种群增长如何引致混沌状态。

混沌控制

混沌控制由狄透(William Ditto)、贾芬卡(Alan Garfinkel)、约克(Jim Yorke),将此想法化为实用技术,用微小的变化开始,造成希望所想的巨大改变。

混沌动力学

混沌系统有三种性质:

  1. 受初始状态影响的敏感性,初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差别。
  2. 具有拓扑混合性;不严格地来说,就是系统会将初始空间的拓扑性质彻底打乱,使得任何初始状态变换到其他任何位置。
  3. 周期轨道稠密,即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。

参见

参考文献

引用

  1. ^ Ivancevic, Vladimir G.; Tijana T. Ivancevic. Complex nonlinearity: chaos, phase transitions, topology change, and path integrals. Springer. 2008. ISBN 978-3-540-79356-4. 

来源

刊物文章
  • 郝柏林:《分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它》,《物理学进展》,1983, 3(01).
  • 朱照宣:《非线性动力学中的浑沌》,《力学进展》,1984, (02).
书籍
  • 苗东升、刘华杰:《浑沌学纵横论》,北京:中国人民大学出版社,1992,1993.
  • 刘华杰:《浑沌语义与哲学》,长沙:湖南教育出版社,1998.

外部链接

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