Torus

'n Torus is 'n 3-D geometriese vorm wat deur die draai van 'n skyf met radius ${\displaystyle r}$ oor 'n sirkel met radius ${\displaystyle R}$ gevorm is (${\displaystyle R>0;r>0}$). Indien ${\displaystyle R>r}$ is die torus 'n kringvormige buisie.

R > r:
Ringtorus

R = r:
Horingtorus

R < r:
Spiltorus

Onderste helfte en kruisafdelings van die drie klasse

'n Torus is die produk van twee sirkels, waarvan slegs een verskyn in hierdie diagram. Die rooi sirkel is gevee om 'n middelpunt, wat nie getoon word nie.

'n Torus kan as volg parametries gedefinieer word:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \end{aligned}}}$

waar

${\displaystyle \theta ,\phi }$ is hoeke wat 'n volle sirkel maak, sodat hulle waardes begin en eindig by dieselfde punt,

${\displaystyle R}$ is die afstand vanaf die middelpunt van die buisie om die middelpunt van die torus,

${\displaystyle r}$ is die radius van die buisie.

${\displaystyle R}$ is bekend as die "grootradius" en ${\displaystyle r}$ is bekend as die "kleinradius".^[2] Die verhouding ${\displaystyle R}$ gedeel deur ${\displaystyle r}$ staan bekend as die aspekverhouding.

Daar is drie verskillende klasse van toruse afhangend van die drie moontlike aspekverhoudings tussen ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle r}$:

• ${\displaystyle R>r}$ beskryf die bekende torus met 'n gat deur die middel.
• ${\displaystyle R=r}$ beskryf die horingtorus, dit wil sê 'n torus met 'n nuldeursneegat.
• ${\displaystyle R<r}$ beskryf die self-sny spiltorus.
• Wanneer ${\displaystyle R=0}$ verander die torus in 'n sfeer.

Wanneer ${\displaystyle R>=r}$ is dit maklik om die oppervlak en volume van die torus met behulp van die swaartepuntstelling van Pappus te bereken:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr\\V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}\end{aligned}}}$

Kyk ook

• Omtrek, oppervlakte en volume