Problemes de Hilbert

Los problemes de Hilbert conformen una llista de 23 problemes matemáticos compilada pol matemáticu alemán David Hilbert pa la conferencia en París del Congresu Internacional de Matemáticos de 1900. Los problemes taben toos por resolver naquel momentu, y dellos resultaríen ser bien influyentes na matemática del sieglu XX. Hilbert presentó diez de los problemes (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) na conferencia, nun actu'l 8 d'agostu en La Sorbona. La llista completa publicóse más palantre.

Naturaleza ya influencia de los problemes

Anque se producieron intentos de repitir l'ésitu de la llista de Hilbert, nengún otru conxuntu tan variáu de problemes o conxetures tuvo un efeutu comparable nel desenvolvimientu de la tema y llográu una fracción importante de la so celebridá. Por casu, les conxetures d'André Weil son famoses pero fueron pocu espublizaes. Quiciabes el so propiu temperamentu evitó qu'él intentara ponese en posición de competir con Hilbert. John von Neumann produció una llista, pero nun llogró reconocencia universal.

A la primer vista, esti ésitu podría atribuyise a la eminencia del autor de los problemes. Hilbert taba nel cumal del so poder y reputación naquel momentu y siguió dirixendo'l sobresaliente escuela de matemática na Universidá de Göttingen. Un exame más cuidadosu revela que l'asuntu nun ye tan simple.

La matemática d'aquel tiempu yera entá discursiva: l'enclín a sustituyir pallabres por símbolos y apelaciones a la intuición y conceutos por aciu axomática pura siguía apoderada, anque se volvería fuerte mientres la siguiente xeneración. En 1900, Hilbert nun pudo allegar a la teoría axomática de conxuntos, la integral de Lebesgue, los espacios topolóxicos o la tesis de Church, que camudaríen los sos respeutivos campos de forma permanente. El analís funcional, fundáu en ciertu mou pol mesmu Hilbert como noción central de los testigos del espaciu de Hilbert, nun s'estremara entá del cálculu de variaciones; hai na llista de problemes de matemática variacional, pero nada, como podría asumise inocentemente, sobre teoría espectral (el problema 19 tien una conexón cola hipoelipticidad).

La llista nun foi predictiva nesi sentíu: nun consiguió afigurar o antemanar l'acandilante ascensu qu'esperimentaríen la topoloxía, la teoría de grupos y la teoría de la midida nel sieglu XX, según nun previo la manera en que diba avanzar la lóxica matemática. Por tanto, el so valor documental ye'l de ensayu: una visión parcial, personal. Suxer dellos programes d'investigación y delles direiciones por siguir ensin fin concretu.

Ello ye que munches de les entrugues daben una falsa idea del matemáticu profesional del sieglu XIX, o inclusive de 1950, en que la forma d'una solución a una bona entruga tomaría la forma d'un artículu publicáu nuna publicación matemática. Si esti fora'l casu de tolos ventitrés problemes, simplificaríase'l comentariu hasta'l puntu de poder dar una referencia a una revista, o considera la entruga como abierta inda. En dellos casos el llinguaxe usáu por Hilbert sigue considerándose un tanto "negociable", en cuanto al significáu real de la formulación del problema (n'ausencia, repitimos, de fundamentos axomáticos, basaos en matemática pura, empezando con el mesmu trabayu de Hilbert sobre xeometría euclidiana, pasando pol Principia Mathematica, y terminando col grupu Bourbaki y el "terrorismu intelectual" pa terminar el trabayu). Los problemes Primeru y Quintu atópense, quiciabes sorprendentemente, nun estáu de formulación d'una claridá menos que total (veanse les notes). En casos como'l Ventenu, el problema podría lleese de forma razonable nuna versión "interna", relativamente accesible, na que'l llector puede saber a qué taba apuntando Hilbert; o como una clarixa "esterna" y especulativa.

Dicho too esto, poro, la razón más importante ye la gran rapidez cola qu'aceptó la llista de Hilbert la comunidá matemática d'aquel momentu (lo que ye una fórmula menos convencional qu'agora, yá que daquella había pocos líderes investigadores, que xeneralmente s'atopaben nunos pocos países europeos y conocíense toos ente ellos). Los problemes estudiar con gran atención; resolver unu llabró reputaciones.

L'estilu foi siquier tan influyente como'l conteníu de los problemes. Hilbert solicitaba clarificaciones. Pidió soluciones en principiu a entrugues algorítmicas, non a algoritmos práuticos. Pidió un fortalecimientu de los cimientos de partes de la matemática qu'a los non prauticantes entá s'antoxaben empuestes por intuiciones opaques (el cálculu de Schubert y la xeometría enumerativa).

Estes actitúes fueron adoptaes por munchos siguidores, anque tamién fueron aldericaes, y siguen siéndolo. Trenta años dempués, Hilbert endureciera la so postura: vease ignorabimus.

Los problemes como manifiestu de Hilbert

Ta abondo claro que la llista de problemes, y la so forma de discutiniu, taben pensaes pa ser influyentes. Hilbert nun falló a les mires de l'academia Alemana tocantes a construcción d'imperios, verbu programáticu, y establecimientu esplícitu d'una direición y reclamu de territoriu pa una escuela. Naide fala yá de la 'escuela de Hilbert' nesos términos; nin gociaron los problemes de Hilbert del so momentu como si fixo'l programa de Erlangen de Felix Klein. Klein foi colega de Hilbert, y en comparanza la llista d'esti postreru yera muncho menos prescriptiva. Michael Atiyah caracterizó'l programa de Erlangen como prematuru. Los problemes de Hilbert, otra manera, amosaron la capacidá del espertu de buscar el momentu fayadizu.

Si la 'escuela de Hilbert' tien un significáu, posiblemente refiérase a la teoría d'operadores y al estilu de la física teórica que tomó los volúmenes Hilbert-Courant como canónicos. Como se señaló antes, la llista nun establez direutamente problemes sobre teoría espectral. Tampoco-y dio relevancia al álxebra conmutativa (entós conocer como teoría d'ideales), la so contribución alxebraica más importante y mayor esmolición nos sos díes de la teoría de invariantes; lo cual, podría dicise, taría más na llinia de Klein. Nin, siquier superficialmente, predicó contra Leopold Kronecker, l'oponente de Georg Cantor, del qu'aprendiera enforma pero que les sos actitúes casi repunaba (como queda documentáu na biografía de Constance Reid). El llector podría estrayer amplies conclusiones de la presencia de la teoría de conxuntos en cabeza na llista.

La teoría de funciones de variable complexa, la caña del analís clásicu que tou matemáticu puru tendría de conocer, ta bastante escaecida: nin la conxetura de Bieberbach nin otra cuestión interesante, amás de la hipótesis de Riemann. Unu de los oxetivos estratéxicos de Hilbert foi poner la álxebra conmutativa y la teoría de funciones complexes al mesmu nivel; esto, sicasí, llevaría 50 años (y entá nun resultó nun cambéu de llugares).

Hilbert tenía un pequeñu grupu de pares: Adolf Hurwitz y Hermann Minkowski yeren dambos amigos cercanos ya iguales intelectuales. Hai un chisgo a la xeometría de númberos de Minkowski nel problema 18, y al so trabayu nes formes cuadráticas nel problema 11. Hurwitz foi'l gran desarrollador de la teoría de la superficie de Riemann. Hilbert usó l'analoxía del cuerpu de funciones, una guía a la teoría alxebraica de númberos por aciu l'usu d'análogos xeométricos, pa desenvolver la teoría del cuerpu de clases dientro de la so propia investigación, y esto queda reflexáu nel problema 9, hasta ciertu puntu nel problema 12, y nos problemes 21 y 22. Per otru llau, l'únicu rival de Hilbert en 1900 yera Henri Poincaré, y la segunda parte del problema 16 ye una cuestión de sistemes dinámicos al estilu de Poincaré.

Dos docenes redondes

Orixinalmente Hilbert incluyó 24 problemes na so llista, pero decidió escluyir unu d'ellos de la publicada. El "problema ventenu cuartu" (na teoría de la demostración, sobre un criteriu de simplicidá y métodos xenerales) redescubrir nel añu 2000 l'historiador alemán Rüdiger Thiele, dientro de les notes manuscrites orixinales de Hilbert.

Resume

De los problemes de Hilbert claramente formulaos, los problemes 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 y 20 tienen una solución aceptada por consensu. Per otru llau, los problemes 1, 2, 5, 9, 15, 18*, 21 y 22 tienen soluciones d'aceptación parcial, pero esiste ciertu discutiniu al respeutu de si la solución resuelve realmente'l problema.

Nel 18 indica que la solución a la ecuación de Kepler ye una demostración asistida por ordenador, una noción anacrónica pa un problema de Hilbert y revesosa hasta ciertu puntu por cuenta de que un llector humanu nun puede verificala en tiempu razonable.

Esto dexa ensin resolver el 8 (la hipótesis de Riemann) y el 12, dambos dientro de la teoría de númberos. Nesta clasificación los 4, 6 y 16 son demasiáu folgazanes como por que dalgún día pueda declaráse-yos resueltos. El problema 24 retiráu tamién cayería nesta clase.

Información tabulada

Los ventitrés problemes de Hilbert son los siguientes:

Problema	Esplicación concisa	Estáu del problema
1ᵉʳ	La hipótesis del continuu (esto ye, nun esiste conxuntu que'l so tamañu tea puramente ente'l de los racionales y el de los númberos reales).	Probóse la imposibilidá de probalo como ciertu o falsu por aciu los axomes de Zermelo-Fraenkel. Nun hai consensu al respeutu de considerar esto como solución al problema.[1]
2º	Probar que los axomes de l'aritmética son Demostración de consistencia consistentes (esto ye, que l'aritmética ye un sistema formal que nun supón una contradicción).	Parcialmente resueltu: hai quien sostienen que se demostró imposible d'establecer nun sistema consistente, finitista y axomáticu;[2] sicasí, Gentzen probó en 1936 que la consistencia de l'aritmética derivar del bon fundamentu del ordinal ${\displaystyle \epsilon _{0}}$, un fechu suxetu a la intuición combinatoria.
3ᵉʳ	Daos dos poliedros d'igual volume, ¿ye siempres posible cortar el primeru nuna cantidá finita de pieces poliédriques que puedan ser ensambladas de cuenta que quede armáu'l segundu?	Resueltu. Resultáu: non, probáu usando invariantes de Dehn.
4º	Construyir toles métriques que les sos rectes sían xeodésiques.	Demasiao folgazán pa decidir si resolvióse o non.[3]
5º	¿Son los grupos continuos grupos diferenciales de forma automática?	Resueltu por Andrew Gleason (1952).
6º	Axomatizar tola física.	La mecánica clásica: Hamel (1903). La termodinámica: Carathéodory (1909). La relatividá especial: Robb (1914) y Caratheodory (1924) independientemente. La teoría de probabilidaes: Kolmogórov (1930). La teoría cuántica de campos: Wightman a finales de los años 1950.
7º	¿Ye a b trascendental, siendo a ≠ 0,1 alxebraicu y b irracional alxebraicu?	Resueltu. Resultáu: sí, ilustráu pol teorema de Gelfond o'l teorema de Gelfond-Schneider.
8º	La hipótesis de Riemann (la parte real de cualesquier cero non trivial de la función zeta de Riemann ye ½) y la conxetura de Goldbach (cada númberu par mayor que 2 puede escribise como la suma de dos númberos primos).	Ensin resolver.[4]
9º	Atopar la llei más xeneral del teorema de reciprocidá en cualesquier cuerpu numbéricu alxebraicu.	Parcialmente resueltu.[5]
10º	Atopar un algoritmu que determine si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tien solución entera.	Resueltu. Resultáu: non, el teorema de Matiyasevich (1970) implica que nun esiste tal algoritmu.
11º	Resolver les formes cuadráticas con coeficientes numbéricos alxebraicos.	Parcialmente resueltu: Sobre los númberos racionales: Hasse (1923-1924). Sobre los númberos enteros: Siegel nos años 1930.
12º	Estender el teorema de Kronecker sobre estensiones abelianas de los númberos racionales a cualesquier cuerpu numbéricu de base.	Ensin resolver.
13º	Resolver toles ecuaciones de 7º grau usando funciones de dos parámetros.	Resueltu negativamente por Vladímir Arnold y Andréi Kolmogórov en 1957.
14º	Probar la finitud de ciertos sistemes completos de funciones.	Resueltu. Resultáu: non, polo xeneral, por cuenta de un contraejemplo, Nagata (1962).
15º	Fundamentu rigorosu del cálculu enumerativo de Schubert.	Parcialmente resueltu, Van der Waerden a finales de los años 1930.
16º	Topoloxía de les curves y superficies alxebraiques.	Ensin resolver.
17º	Espresión d'una función definida racional como cociente de sumes de cuadraos.	Resueltu. Resultáu: establecióse una llende cimera pal númberu de términos cuadraos necesarios, Pfister (1967). La solución negativa polo xeneral débese a Du Bois (1967).
18º	¿Esiste un poliedru irregular y que construya otros poliedros? ¿Cual ye'l apilamientu compactu más trupu?	Resueltu.[6]
19º	¿Son siempres analítiques les soluciones de los Lagrangianos?	Resueltu por Bernstein (1904). Resultáu: sí.
20º	¿Tienen solución toes los problemes variacionales con ciertes condiciones de contorna?	Resueltu. Supunxo una área importante d'investigación mientres el sieglu XX, rematando coles soluciones al casu non llinial.
21ᵉʳ	Probar la esistencia d'ecuaciones lliniales diferenciales que tengan un grupu monodrómico prescritu.	Resueltu. Resultáu: sí o non, dependiendo d'una formulación más exacta del problema. Según Gray resueltu de forma negativa por Anosov y Bolibruch (1994).
22º	Uniformización de les rellaciones analítiques per mediu de funciones automórficas.	Resueltu por Koebe (1907) y Poincaré independientemente (1907).
23ᵉʳ	Estensión de los métodos del cálculu de variaciones.	Ensin resolver.

Ver tamién

• Problemes de Smale
• Problemes del mileniu