Векторлы ҡабатландыҡ

Өс үлсәмле Евклид арауығында ике векторҙың векторлы ҡабатландығы (рус. Векторное произведение) — бирелгән ике векторға перпендикуляр вектор, оҙонлоғо һан ҡиммәте буйынса бирелгән векторҙар төҙөгән параллелограмдың майҙанына тигеҙ, ә ике йүнәлештең береһен һайлау ошолай башҡарыла, векторҙарҙың ҡабатландығында торған һәм килеп сыҡҡан векторҙарҙан тәртип буйынса төҙөлгән тройка уң булырға тейеш^[⇨]. Коллинеар векторҙарҙың (айырым алғанда, әгәр ҡабатлашыусыларҙың береһе булһа ла — нуль вектор булһа) векторлы ҡабатландығы нуль векторға тигеҙ тип иҫәпләнә.

Өс үлсәмле Евклид арауығында векторлы ҡабатландыҡ

Шулай итеп, ике векторҙың векторлы ҡабатландығын билдәләү өсөн арауыҡта ориентация бирергә, йәғни ниндәй өс вектор — уң, ә ниндәйе һул булып тороуын әйтергә кәрәк. Шул уҡ мәлдә ҡаралған арауыҡта ниндәй ҙә булһа координаталар системаһы биреү мотлаҡ түгел. Атап әйткәндә, бирелгән арауыҡ ориентацияһында векторлы ҡабатландыҡтың һөҙөмтәһе ҡаралған координаталар системаның уң йәки һул булыу-булмауына бәйле түгел. Шул уҡ мәлдә векторлы ҡабатландыҡтың координаталарын бирелгән векторҙар координаталары аша сағылдырыусы формулалар уң һәм һул ортонормалашҡан тура мөйөшлө координаталар системаһында тамғалары менән айырыла.

Векторлы ҡабатландыҡ коммутативлыҡ һәм ассоциативлыҡ үҙсәнлектәренә эйә түгел. Ул антикоммутатив һәм, векторҙарҙың скаляр ҡабатландығынан айырмалы рәүештә, һөҙөмтә тағы ла вектор була.

Векторҙарҙың перпендикулярлығын «үлсәү» өсөн файҙалы — ике векторҙың векторлы ҡабатландығының модуле, әгәр улар перпендикуляр булһа, уларҙың модулдәренең ҡабатландығына тигеҙ, һәм әгәр векторҙар коллинеар булһа, нулгә тиклем кәмей.

Күп кенә техник һәм физик ҡушымталарҙа киң ҡулланыла. Мәҫәлән, импульс моменты һәм Лоренц көсө математик векторлы ҡабатландыҡ күренешендә яҙылалар.

Тарихы

Векторлы ҡабатландыҡ У. Гамильтон тарафынан 1846 йылда^[1] кватерниондар менән бәйле, скаляр ҡабатландыҡ менән бер үк ваҡытта, скаляр өлөшө нулгә тигеҙ булған ике кватерниондың ҡабатландығының ярашлы рәүештә векторлы һәм скаляр өлөшө булараҡ индерелә^[2].

Билдәләмә

Өс үлсәмле Евклид арауығында ${\displaystyle {\vec {a}}}$ векторының ${\displaystyle {\vec {b}}}$ векторына векторлы ҡабатландығы тип түбәндәге шарттарҙы ҡәнәғәтләндергән ${\displaystyle {\vec {c}}}$ векторы атала:

• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ векторының оҙонлоғо ${\displaystyle {\vec {a}}}$ һәм ${\displaystyle {\vec {b}}}$ векторҙарының оҙонлоҡтарының улар араһындағы мөйөш синусына ҡабатландығына (йәғни ${\displaystyle {\vec {a}}}$ һәм ${\displaystyle {\vec {b}}}$ векторҙары төҙөгән параллелограмм майҙанына) тигеҙ;
• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ векторы ${\displaystyle {\vec {a}}}$ һәм ${\displaystyle {\vec {b}}}$ векторҙарының һәр береһенә ортогональ;
• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ векторы, ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ өс векторы уң^[⇨] булырлыҡ итеп йүнәлгән.

Тамғалауҙар:

${\displaystyle {\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}.}$

Өс үлсәмле Евклид арауығында векторҙарҙың уң һәм һул өслөһө

Уң ҡул ҡағиҙәһе ярҙамында векторлы ҡабатландыҡтың йүнәлешен табыу

Өс үлсәмле Евклид арауығында компланар булмаған (һыҙыҡлы бәйле булмаған) өс тәртипкә һалынған ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ векторҙарын ҡарайыҡ. ориентирланған арауыҡта ошондай өс вектор йә «уң», йә иһә «һул» буласаҡ.

Геометрик билдәләмә

Векторҙарҙың башын бер нөктәгә туплайбыҙ. Өс үлсәмле арауыҡта тәртипкә һалынған өс компланар булмаған ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ векторҙары, әгәр ${\displaystyle {\vec {c}}}$ векторының осонан ${\displaystyle {\vec {a}}}$ векторынан ${\displaystyle {\vec {b}}}$ векторына иң ҡыҫҡа боролош күҙәтеүсегә сәғәт уғына ҡаршы күренһә, уң тип атала. Һәм киреһенсә, әгәр иң ҡыҫҡа боролош күҙәтеүсегә сәғәт уғы йүнәлешендә күренһә, тройка һул тип атала.

Ҡул ярҙамында билдәләмә

Икенсе билдәләмә кешенең уң ҡулы менән бәйле, исеме шунан килеп сыҡҡан да инде. Һүрәттә өс ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$, ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$ векторҙары уң.

Үҙсәнлектәре

Векторлы ҡабатландыҡтың геометрик үҙсәнлектәре

 1 һүрәт: Параллелограмдың майҙаны векторлы ҡабатландыҡтың модуленә тигеҙ

 2 һүрәт: Векторҙарҙың векторлы һәм скаляр ҡабатландыҡтарын ҡулланғанда параллелепипед күләме; пунктир һыҙыҡтар c векторының a × b векторына һәм b × c векторының a векторына проекцияларын күрһәтәләр, Беренсе аҙым булып векторлы ҡабатландыҡты табыу тора (уның модуле ҡырҙарҙың береһенең майҙанына тигеҙ), икенсе аҙым булып скаляр ҡабатландыҡты табыу тора (ул параллепипед күләменә тигеҙ).

• Ике нулдән айырмалы векторҙың коллинеарлығының кәрәкле һәм етерлек шарттары булып уларҙың векторлы ҡабатландығының нулгә тигеҙ булыуы тора.
• ${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]}$ векторлы ҡабатландығының модуле уртаҡ башланғыс нөктәгә килтерелгән ${\displaystyle {\vec {a}}}$ һәм ${\displaystyle {\vec {b}}}$ векторҙарында төҙөлгән параллелограммдың майҙаны ${\displaystyle S}$-ҡа тигеҙ (һүрәтте ҡарағыҙ  1).
• Әгәр ${\displaystyle {\vec {e}}}$ — ${\displaystyle {\vec {a}}}$ һәм ${\displaystyle {\vec {b}}}$ векторҙарына ортогональ берәмек вектор һәм өс ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}}$ векторы — уң булырлыҡ итеп һайлап алынған булһа, ә ${\displaystyle S}$ — уларҙа (уртаҡ башланғыс нөктәгә килтерелгән) төҙөлгән параллелограммдың майҙаны булһа, ул саҡта векторлы ҡабатландыҡ өсөн түбәндәге формула дөрөҫ:

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.}$

• Әгәр ${\displaystyle {\vec {c}}}$ — ниндәйҙерь вектор, ${\displaystyle \pi }$ — был вектор ингән теләһә ниндәй яҫылыҡ, ${\displaystyle {\vec {e}}}$ — ${\displaystyle \pi }$ яҫылығында ятҡан һәм ${\displaystyle {\vec {c}}}$-ға ортогональ берәмек вектор, ${\displaystyle {\vec {g}}}$ — ${\displaystyle \pi }$ яҫылығына ортогональ һәм өс ${\displaystyle {\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}}$ векторҙары уң булырлыҡ итеп йүнәлгән берәмек вектор булһа, ул саҡта ${\displaystyle \pi }$ яҫылығында ятҡан теләһә ниндәй ${\displaystyle {\vec {a}}}$ векторы өсөн түбәндәге формула дөрөҫ:

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec {c}}|\cdot {\vec {g}}.}$

• Векторлы һәм скаляр ҡабатландыҡты ҡулланғанда, уртаҡ башланғыс нөктәгә килтерелгән a, b һәм c векторҙарында төҙөлгән параллелепипедты күләмен иҫәпләргә мөмкин ( 2 һүрәтен ҡарағыҙ). Бындай өс векторҙың ҡабатландығы ҡатнаш тип атала.

${\displaystyle V=|\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle |.}$

Һүрәттә был күләмде ике ысул менән табырға мөмкин булыуы күрһәтелгән: геометрик һөҙөмтә хатта «скаляр» һәм «векторлы» ҡабатландыҡтарҙы урындары менән алмаштырғанда ла һаҡлана:

${\displaystyle V=\langle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle .}$

Векторлы ҡабатландыҡтың дәүмәле башланғыс векторҙар араһындағы мөйөш синусына бәйле, шуға күрә векторлы ҡабатландыҡ, скаляр ҡабатландыҡ «параллеллек» дәрәжәһе итеп ҡарала алған кеүек, векторҙарҙың «перпендикулярлыҡ» дәрәжәһе итеп ҡабул ителергә мөмкин. Ике берәмек векторҙың векторлы ҡабатландығы, әгәр башланғыс векторҙар перпендикуляр булһа 1-гә (берәмек векторға) тигеҙ, һәм әгәр векторҙар параллель йәки кире параллель (коллинеар) булһа, 0-гә (нуль векторға) тигеҙ.

Векторлы ҡабатландыҡтың алгебраик үҙсәнлектәре

Артабан ${\displaystyle {\vec {a}}}$ һәм ${\displaystyle {\vec {b}}}$ векторҙарының векторлы һәм скаляр ҡабатландыҡтарын ярашлы рәүештә ${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]}$ һәм ${\displaystyle \langle {\vec {a}},\;{\vec {b}}\rangle }$ тип тамғалана.

Яҙылышы	Тасуирлама
${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]}$	Антикоммутативлыҡ.
${\displaystyle [\alpha \cdot {\vec {a}},\;{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;\alpha \cdot {\vec {b}}]=\alpha \cdot [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]}$	Скалярға ҡабатлауҙың Ассоциативлығы.
${\displaystyle [{\vec {a}}+{\vec {b}},\;{\vec {c}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {c}}]+[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]}$	Ҡушыу буйынса дистрибутивлыҡ.
${\displaystyle [[{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}]+[[{\vec {b}},\;{\vec {c}}],\;{\vec {a}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],\;{\vec {b}}]={\vec {0}}}$	Якоби тождествоһы.
${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {a}}]={\vec {0}}}$
${\displaystyle [{\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]]={\vec {b}}\cdot \langle {\vec {a}},\;{\vec {c}}\rangle -{\vec {c}}\cdot \langle {\vec {a}},\;{\vec {b}}\rangle }$	«БАЦ минус ЦАБ» формулаһы, Лагранж тождествоһы.
${\displaystyle |[{\vec {a}},\,{\vec {b}}]|^{2}+\langle {\vec {a}},\,{\vec {b}}\rangle ^{2}=|{\vec {a}}|^{2}\cdot |{\vec {b}}|^{2}}$	Кватерниондар нормаһының мультипликативлығының айырым осрағы.
${\displaystyle \langle [{\vec {a}},\,{\vec {b}}],\,{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\,[{\vec {b}},\,{\vec {c}}]\rangle }$	Был аңлатманың ҡиммәтен ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ векторҙарының ҡатнаш ҡабатландығы тип атайҙар.

Аңлатма координаталарҙа

Уң ортонормалаштырылған базиста

Әгәр ике ${\displaystyle {\vec {a}}}$ һәм ${\displaystyle {\vec {b}}}$ векторҙары уң ортонормалаштырылған базиста

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},\;a_{y},\;a_{z}),}$

${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{x},\;b_{y},\;b_{z}),}$

координаталары менән күрһәтелһәләр, ул саҡта уларҙың векторлы ҡабатландығының координаталары түбәндәгесә:

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).}$

Был формуланы иҫтә ҡалдырыу өсөн мнемоник билдәләүсене ҡулланыу уңайлы:

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},}$

бында ${\displaystyle \mathbf {i} =(1,0,0)}$, ${\displaystyle \mathbf {j} =(0,1,0)}$, ${\displaystyle \mathbf {k} =(0,0,1)}$, йәки

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},}$

бында ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ — Леви-Чивита символы.

Һул ортонормалаштырылған базиста

Әгәр базис һул ортонормалаштырылған булһа, ул саҡта уларҙың векторлы ҡабатландығының координаталары түбәндәгесә:

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).}$

Иҫтә ҡалдырыу өсөн, оҡшаш рәүештә:

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},}$

йәки

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\cdot a_{j}\cdot b_{k}.}$

Һул координаталар системаһы өсөн формулаларҙы уң координаталар системаһы өсөн формулаларҙан, шул уҡ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ һәм ${\displaystyle {\vec {b}}}$ векторҙарын ярҙамсы уң координаталар системаһында яҙып табырға була (${\displaystyle \mathbf {i} '=\mathbf {i} ,\mathbf {j} '=\mathbf {j} ,\mathbf {k} '=-\mathbf {k} }$):

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\\a'_{x}&a'_{y}&a'_{z}\\b'_{x}&b'_{y}&b'_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &-\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&-a_{z}\\b_{x}&b_{y}&-b_{z}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.}$

Ирекле аффинлы (ҡыя мөйөшлө) координаталар системаһында

Векторное Ирекле ${\displaystyle O{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}}$ аффинлы координаталар системаһында вкторлы ҡабатландыҡтың координаталары

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\begin{vmatrix}[{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}]&[{\vec {e}}_{3},\;{\vec {e}}_{1}]&[{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2}]\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.}$

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Произведения векторов

• Псевдоскалярное произведение (только на плоскости!)
• Скалярное произведение векторов
• Смешанное (скалярно-векторное) произведение векторов (только в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$)
• Двойное (векторно-векторное) произведение векторов (только в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$)
• Векторное произведение в семимерном пространстве

Другое

• Ротор
• Дивергенция