Гиперболик функциялар

Гиперболи́к функциялар — экспонента аша күрһәтелеүсе һәм тригонометрик функциялар менән тығыҙ бәйләнгән элементар функциялар ғаиләһе.

Билдәләмә

${\displaystyle \operatorname {sh} x}$

${\displaystyle \operatorname {ch} x}$

Гиперболик функциялар түбәндәге формулалар менән биреләләр:

• гиперболик синус:

${\displaystyle \operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$

(инглиз телендәге әҙәбиәттә ${\displaystyle \sinh x}$ тип тамғалана)

• гиперболик косинус:

${\displaystyle \operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$

(инглиз телендәге әҙәбиәттә ${\displaystyle \cosh x}$ тип тамғалана)

• гиперболик тангенс:

${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$

(инглиз телендәге әҙәбиәттә ${\displaystyle \tanh x}$ тип тамғалана)

• гиперболик котангенс:

${\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}}$

(инглиз телендәге әҙәбиәттә ${\displaystyle \coth x}$ тип тамғалана)

• гиперболик секанс:

${\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}}$

Гиперболик секанс ҡайһы берҙә шулай уҡ ${\displaystyle \operatorname {sech} x}$ тип тамғалана.

• гиперболик косеканс:

${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}}$

Геометрик билдәләмә

Файл:Hyperbola-hyperbolic functions.png

Гиперболикх функцияларға гипербола аша билдәләмә биреү

Гиперболик синусты параметрлаштырыу (анимация).

${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}t-\operatorname {sh} ^{2}t=1}$ нисбәте арҡаһында гиперболик функциялар ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ гиперболаһының параметрлы күҙаллауын бирә. (${\displaystyle x=\operatorname {ch} t}$, ${\displaystyle y=\operatorname {sh} t}$). Был ваҡытта ${\displaystyle t=2S}$ аргумент, бында ${\displaystyle S}$ — әгәр сектор ${\displaystyle OX}$ күсәренән өҫтә ятһа «+» тамғаһы менән алынған, һәм кире осраҡта «−» тамғаһы менән алынған, ${\displaystyle OQR}$ кәкре һыҙыҡлы өсмөйөшөнөң майҙаны. Гиперболик функциялар ҙа был параметр аша билдәләнә икәне асыҡ күренә, мәҫәлән, гиперболик синус тигеҙләмәләре параметрлы формала: ${\displaystyle x=t,y=f(t)}$, бында ${\displaystyle f(t)}$ — , гипербола нөктәһенең ${\displaystyle t=2S}$ майҙанына ярашлы ординатаһы. Был билдәләмә тригонометрик функцияларҙың берәмек әйләнә аша билдәләмәһенә оҡшаш, уны шулай уҡ оҡшаш рәүештә төҙөргә мөмкин.

Үҙсәнлектәре

Тригонометрик функциялар менән бәйләнеш

Гиперболик функциялар уйланма аргументтың тригонометрик функциялары аша күрһәтеләләр.

${\displaystyle \operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)}$.

${\displaystyle \operatorname {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x}$.

Гудерман функцияһы тригонометрик функцияларҙы һәм гиперболик функцияларҙы комплекслы һандарҙы ҡулланмайынса бәйләй.

Мөһим нисбәттәр

1. ${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1.}$
2. йоп/таҡ булыу:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x.}$
3. Ҡушыу формулалары:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y}}.}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatorname {cth} x\,\operatorname {cth} y}{\operatorname {cth} x\pm \operatorname {cth} y}}.}$
4. Икеләтелгән мөйөш формулалары:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}.}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x).}$
   5. ${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x}}.}$
   6. ${\displaystyle \operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}.}$
5. Тапҡырлы мөйөш формулалары:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} 3x=\operatorname {th} x{\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}.}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x.}$
   5. ${\displaystyle \operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x.}$
   6. ${\displaystyle \operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}.}$
6. Ҡабатландыҡ формулалары:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\,\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (x-y)}{2}}.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}}.}$
7. Сумма:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}.}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}.}$
   4. ${\displaystyle \operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} (x\pm y)}{\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y}}.}$
8. Дәрәжәне кәметеү формулалары:
   1. ${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}.}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}.}$
9. Сығарылмалар:
   1. ${\displaystyle (\operatorname {sh} x)^{\prime }=\operatorname {ch} x.}$
   2. ${\displaystyle (\operatorname {ch} x)^{\prime }=\operatorname {sh} x.}$
   3. ${\displaystyle (\operatorname {th} x)^{\prime }={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}.}$
   4. ${\displaystyle (\operatorname {cth} x)^{\prime }=-{\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}.}$
10. Интегралдар:

    'Шулай уҡ ҡарағыҙ: Гиперболик функциялар интегралдары теҙеме, Кире гиперболик функциялар интегралдары теҙеме

    1. ${\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C.}$
    2. ${\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C.}$
    3. ${\displaystyle \int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C.}$
    4. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C.}$
    5. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C.}$
    6. ${\displaystyle \operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt.}$
    7. ${\displaystyle \operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt.}$
    8. ${\displaystyle \operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}.}$
11. Мөйөштөң яртыһының гиперболик тангенсы аша күрһәтеү:
    1. ${\displaystyle \operatorname {sh} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$
    2. ${\displaystyle \operatorname {ch} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$
    3. ${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$
    4. ${\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}}$
    5. ${\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$
    6. ${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}}$

Тигеҙһеҙлектәр

Бөтә ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ өсөн үтәләләр:

1. ${\displaystyle 0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x}$
2. ${\displaystyle |\operatorname {th} x|<1}$

Дәрәжәле рәттәргә тарҡатыу

${\displaystyle \operatorname {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \operatorname {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

${\displaystyle \operatorname {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi }$ (Лоран рәте)

${\displaystyle \operatorname {sch} \,x={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}\,x^{2n}}{(2n)!}}}$

Бында ${\displaystyle B_{2n}}$ — Бернулли һандары, ${\displaystyle E_{2n}}$ — Эйлер һандары.

Графиктар

Файл:Гиперфункции.png

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

sh, ch и th

csch, sech и cth

Аналитик үҙсәнлектәре

Гиперболик синус һәм гиперболик косинус сикһеҙлектәге мөһим айырым нөктәнән башҡа бөтә комплекслы яҫылыҡта аналитик функциялар. Гиперболик тангенс ${\displaystyle z=i\pi (n+1/2)}$ нөктәләрендәге, бында ${\displaystyle n}$ — бөтөн һан, полюстарҙан башҡа бөтә урында аналитик. Вычеттар был бөтә полюстарҙа бергә тигеҙ. Гиперболик котангенс ${\displaystyle z=i\pi n}$ нөктәләренән башҡа бөтә урында аналитик, уның вычеттары был полюстарҙа шулай уҡ бергә тигеҙ.

Кире гиперболик функциялар

Төп мәҡәлә: Кире гиперболик функциялар

Икенсе төрлө ареа-функциялар тип аталалар: ярашлы гиперболик функцияларҙың исемдәренә «ареа-» префиксы өҫтәлә — лат. «area» — «майҙан» һүҙенән. Ареа-функцияларҙың мөһим әһәмиәте түбәндәге аңлатмалар менән билдәләнә.

• ${\displaystyle \operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}$ — кире гиперболик синус, ареа-синус.
• ${\displaystyle \operatorname {arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}$ — кире гиперболик косинус, ареа-косинус.
• ${\displaystyle \operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1}$ — кире гиперболик тангенс, ареа-тангенс.
• ${\displaystyle \operatorname {arcth} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1}$ — кире гиперболик котангенс, ареа-котангенс.
• ${\displaystyle \operatorname {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1}$ — кире гиперболик секанс, ареа-секанс. ${\displaystyle y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}}$ сығарылышы шулай уҡ ${\displaystyle \operatorname {sch} y=x}$ тигеҙләмәһен ҡәнәғәтләндереүен билдәләп китәйек, әммә ареа-функцияларҙың төп ҡиммәттәре бер ҡиммәтле функциялар булалар.
• ${\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} x{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}=\left\{{\begin{array}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{array}}\right.}$ — кире гиперболик косеканс, ареа-косеканс.

Графиктар

Файл:Ареафункции.png

arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

Ҡайһы бер кире гиперболик һәм кире тригонометрик функциялар араһында бәйләнеш:

${\displaystyle \operatorname {Arsh} x=-i\operatorname {Arcsin} (-ix),}$

${\displaystyle \operatorname {Arsh} (ix)=i\operatorname {Arcsin} x,}$

${\displaystyle \operatorname {Arcsin} x=-i\operatorname {Arsh} (ix),}$

${\displaystyle \operatorname {Arcsin} (ix)=-i\operatorname {Arsh} (-x),}$

бында i — уйланма берәмек.

Был функциялар түбәндәге рәттәргә тарҡалалар:

${\displaystyle \operatorname {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad x<1;}$

${\displaystyle \operatorname {arch} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;}$

${\displaystyle \operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.}$

Сит ил әҙәбиәтендә кире гиперболик функцияларҙы йыш ҡына беренсе дәрәжә минус тамғаһы аша тамғалайҙар: мәҫәлән, ${\displaystyle \operatorname {Arth} \,x}$ ${\displaystyle \operatorname {tanh} ^{-1}x}$ тип яҙалар (шуның менән бергә ${\displaystyle (\operatorname {tanh} \,x)^{-1}}$ икенсе функцияның тамғаланышы — ${\displaystyle \operatorname {cth} \,x}$), һәм б. ш.

Тарихы

Гиперболик функцияларҙың беренсе килеп сығыуын тарихсылар инглиз математигы Абрахам де Муавр (1707, 1722) хеҙмәттәрендә күрәләр. Хәҙерге билдәләмәне һәм уларҙы ентекле тикшереүҙе Винченцо Риккати 1757 йылда башҡара («Opusculorum», том I), шулай уҡ уларҙың тамғаланышын тәҡдим итә: ${\displaystyle \operatorname {sh} }$, ${\displaystyle \operatorname {ch} }$. Риккати берәмек гиперболаны ҡарауҙан сығып эш итә (#Билдәләмә бүлегендәге һүрәтте ҡарағыҙ).

Иоганн Ламберт (1768) бәйһеҙ рәүештә гиперболик функцияларҙы аса һәм артабан уларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнә, ул ғәҙәттәге һәм гиперболик тригонометрия формулаларының киң параллеллеген асыҡлай. Н. И. Лобачевский аҙағыраҡ, Евклид булмаған геометрияның ҡаршылыҡлы булмауын иҫбатларға тырышҡанда, был параллелизмды ҡуллана, унда түңәрәк тригонометрия гиперболиккә алмашынған.

Гиперболик функцияларҙың тамғаланышында ниндәйҙер төрлөлөк нығына. Мәҫәлән, Брокгауз һәм Эфрон энциклопедияһында ${\displaystyle \operatorname {sinhyp} }$, ${\displaystyle \operatorname {coshyp} }$ тамғаланыштары ҡулланыла, урыҫ телле әҙәбиәттә ${\displaystyle \operatorname {sh} ,\operatorname {ch} }$ тамғаланыштары нығына, инглиз телле әҙәбиәттә ${\displaystyle \sinh ,\cosh }$ тип тамғалана.

Ҡулланылышы

Гиперболик функциялар йыш ҡына төрлө интегралдарҙы иҫәпләгәндә осрай. Ҡайһы бер рациональ функцияларҙың һәм радикалдар ингән функцияларҙың интегралдары, гиперболик функцияларҙы ҡулланып үҙгәреүсәнде алмаштырыу ярҙамында, ябай ғына итеп иҫәпләнәләр.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}}$ күренешендәге матрицалар ике үлсәмле Евклид арауығының боролоштарын тасуирлаған кеүек, ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathop {\mathrm {ch} } \,x&\mathop {\mathrm {sh} } \,x\\\mathop {\mathrm {sh} } \,x&\mathop {\mathrm {ch} } \,x\end{pmatrix}}}$ матрицалары иң ябай ике үлсәмле Минковский арауығында боролоштарҙы тасуирлайҙар. Ошоноң менән бәйле гиперболик функциялар йыш ҡына сағыштырмалыҡ теорияһында осрайҙар.

Үҙенең остарынан ирекле рәүештә эленеп ҡуйған бер үлсәмле арҡан йәки сынйыр ${\displaystyle y=a\,\mathop {\mathrm {ch} } \,{\frac {x}{a}}}$ функцияһының графигы формаһын ала (ошоноң менән бәйле гиперболик косинустың графигын ҡайһы берҙә сынйырлы һыҙыҡ тип атайҙар). Был хәл аркаларҙы проектирләгәндә ҡулланыла, сөнки арканың әйләндерелгән сынйырлы һыҙыҡ формаһы ауырлыҡты иң ныҡ эффективлы бүлә.

Әҙәбиәт

• Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.

• Шерватов В. Г. Гиперболические функции.. — Гостехиздат, 1954. — 58 с. — (Популярные лекции по математике). — 25 000 экз.
• А. Р. Янпольский. Гиперболические функции. — Москва, 1960. — 195 с.

Һылтанмалар

• GonioLab: Интерактивная демонстрация тригонометрических и гиперболических функций на Java Web Start
• БСЭ: Знаки математические
• Обратные тригонометрические и гиперболические функции (англ.) 2008 йыл 16 апрель архивланған.