Функциялар композицияһы

Фу́нкциялар компози́цияһы (йәки фу́нкциялар суперпози́цияһы) — ул бер функцияны икенсе функция һөҙөмтәһенә ҡулланыу.

Функциялар композицияһы
Закон йәки теорема формулаһы	${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$[1]
Обозначение в формуле	${\displaystyle g\circ f}$, ${\displaystyle f}$ һәм ${\displaystyle g}$
Продукция	сложная функция[d]
Тамғалау	оператор кружочек[d] һәм Нөктә
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Нейтральный элемент	тождественное отображение[d]
Функциялар композицияһы Викимилектә

${\displaystyle G}$ һәм ${\displaystyle F}$ функциялары композицияһын ғәҙәттә ${\displaystyle G\circ F}$ тип тамғалайҙар, был ${\displaystyle G}$ функцияһын ${\displaystyle F}$ функцияһы һөҙөмтәһенә ҡулланыуҙы аңлата, йәғни ${\displaystyle (G\circ F)(x)=G(F(x))}$.

Билдәләмә

${\displaystyle F:X\to Y}$ һәм ${\textstyle G:F(X)\to Z}$ — ике функция булһын, ти (${\displaystyle F(X)\subset Y}$). Ул саҡта был функцияларҙың композицияһы тип түбәндәге тигеҙлек менән билдәләнгән ${\displaystyle G\circ F:X\to Z}$ функцияһы атала:

${\displaystyle (G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.}$

Бәйле билдәләмәләр

• «Ҡатмарлы функция» термины ике функция композицияһына ла ҡулланыла, шуға ҡарамаҫтан ул йышыраҡ бер нисә үҙгәреүсәнле функцияның эсенә бер юлы бер йәки бер нисә үҙгәреүсәнле бер нисә функция бирелгән осраҡта ҡулланыла. Мәҫәлән, ҡатмарлы функция тип түбәндәге күренештәге ${\displaystyle G}$ функцияһын атарға була

  ${\displaystyle G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),}$

сөнки ул эсенә ${\displaystyle u}$ һәм ${\displaystyle v}$ функцияларының һөҙөмтәһе индерелгән ${\displaystyle F}$ функцияһы булып тора.

Композициялар үҙсәнлектәре

• Композиция ассоциатив:

  ${\displaystyle (H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).}$

• Әгәр ${\displaystyle F=\mathrm {id} _{X}}$ — ${\displaystyle X}$-ҡа тождестволы сағылдырыу булһа, йәғни

  ${\displaystyle F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,}$

ул саҡта

${\displaystyle G\circ \mathrm {id} _{X}=G.}$

• Әгәр ${\displaystyle G=\mathrm {id} _{Y}}$ — ${\displaystyle Y}$-кәтождестволы сағылдырыу булһа, йәғни

  ${\displaystyle G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,}$

ул саҡта

${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ F=F.}$

• ${\displaystyle X}$ күмәклегенең үҙенә бөтә биекциялары арауығын ҡарайыҡ һәм уны ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$ тип тамғалайыҡ. Йәғни, әгәр ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}$ булһа, ул саҡта ${\displaystyle F:X\to X}$ — биекция. Ул саҡта ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$-тан функциялар композицияһы бинар операция була, ә ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}$ — төркөм. ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ был төркөмдөң нейтраль элементы була. ${\displaystyle F^{-1}\in {\mathcal {F}}_{X}}$ — ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}$ элементына кире элемент (кире функция) була.
  • ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}$ төркөмө, дөйөм әйткәндә, коммутатив түгел, йәғни ${\displaystyle F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}}$.