Экспонента

Экспоне́нта — күрһәткесле функция ${\displaystyle f(x)=\exp(x)=e^{x}}$, бында ${\displaystyle e}$ — Эйлер һаны${\displaystyle (e\approx 2,718)}$.

Был терминдың башҡа мәғәнәләре лә бар, ҡарағыҙ: Экспонента (мәғәнәләр).

Экспонента графигы ${\displaystyle y=e^{x}}$ (күк).
${\displaystyle e^{x}}$ функцияһы графигына нуль нөктәһендә тейеүсе (ҡыҙыл) ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}~(45^{\circ })}$ ауышлыҡта.
Миҫал өсөн ${\displaystyle y=2^{x}}$ (нөктәләр менән) һәм ${\displaystyle y=4^{x}}$ (пунктирлы) функцияларының да графигы бирелгән

Билдәләмә

Экспоненциаль функцияға билдәләмәне төрлө эквивалент ысулдар менән бирергә мөмкин. Мәҫәлән, Тейлор рәте аша:

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

йәки сикләмә аша: ${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$. Бында ${\displaystyle x}$ — теләһә ниндәй комплекслы һан.

Үҙсәнлектәре

• ${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}$, айырым алғанда, экспонента — ${\displaystyle y'=y}$ дифференциаль тигеҙләмәһенең ${\displaystyle y(0)=1}$ башланғыс шарттары өсөн берҙән-бер сығарылышы. Бынан тыш, бер төрлө дифференциаль тигеҙләмәләрҙең уртаҡ сығарылыштары экспонента аша күрһәтеләләр.
• Экспонентаның билдәләнеү өлкәһе бөтә ысын һандар күмәклеге. Ул бөтә һандар күмәклегендә үҫә барыусы һәм тик ыңғай ҡиммәттәр ала.
• Экспонента — ҡабарынҡы функция.
• Уға кире функция — натураль логарифм ${\displaystyle (\ln x)}$.
• Экспонентаның Фурье-образы юҡ.
• Ләкин Лаплас үҙгәртеүе бар.
• Экспонентаның сығарылмаһы нуль нөктәһендә ${\displaystyle 1}$-гә тигеҙ, шуға күрә экспонентаға тейеүсе был нөктәлә x күсәренә ${\displaystyle 45^{\circ }~{\Big (}{\frac {\pi }{4}}{\Big )}}$ ауышлыҡта
• Экспонентаның, һәр төрлө күрһәткесле функция кеүек, төп функциональ үҙсәнлектәре:

  ${\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}$.

  • Ундай үҙсәнлеккә эйә булған өҙлөкһөҙ функция йәки тождестволы ${\displaystyle 0}$-гә тигеҙ, йәки ${\displaystyle \exp(cx)}$ күренешендә, бында ${\displaystyle c}$ — ниндәйҙер константа.
• ${\displaystyle e^{x}=\sinh x+\cosh x}$, бында ${\displaystyle \sinh }$ һәм ${\displaystyle \cosh }$ — гиперболалы синус һәм косинус.

Комплекслы экспонента

Комплекслы яҫылыҡта экспонентаның графигы.
Легенда

Комплекслы экспонента — ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$ формулаһы менән бирелгән математик функция, бында ${\displaystyle z}$ комплекслы һан. Комплекслы экспонента ысын ${\displaystyle x}$ үҙгәреүсәнле ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ экспонентаның аналитик дауамы булараҡ билдәләнә: Формаль аңлатма билдәләмә бирәйек: ${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}}$. Шул рәүешле билдәләнгән аңлатма ысын һандар күсәрендә классик ысын үҙгәреүсәнле экспонента менән тап килә. Ҡоролоштоң тулыһынса дөрөҫлөгө өсөн ${\displaystyle e^{z}}$ функцияһының аналитик булыуын иҫбат итергә кәрәк, йәғни ${\displaystyle e^{z}}$, сикләмәһе был функцияға тигеҙ булған ниндәйҙер рәткә тарҡала икәнде күрһәтергә кәрәк. Быны күрһәтәйек: ${\displaystyle f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$ Был рәттең сикләмәһе булыуы еңел иҫбатлана: ${\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}}$. Рәттең һәр саҡ сикләмәһе бар, шулай итеп, был рәттең һәр конкрет нөктәлә суммаһы ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$ аналитик функцияһының ҡиммәтен билдәләйәсәк. Берҙән-берлек теоремаһына ярашлы, килеп сыҡҡан дауам берҙән-бер була. Ошонан сығып, комплекслы яҫылыҡта ${\displaystyle e^{z}}$ функцияһы һәр саҡ билдәләнгән һәм аналитик.

Үҙсәнлектәре

• Комплекслы экспонента — бөтә комплекслы яҫылыҡта бөтөн голоморфлы функция. Бер нөктәлә лә ул нулгә әйләнмәй.
• ${\displaystyle e^{z}}$ — периодлы функция, төп периоды 2πi: ${\displaystyle e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi )}}$. Периодлы булғанлыҡтан комплекслы экспонента күп ҡиммәтле функция. Уның бер ҡиммәтлелек өлкәһе сифатында ${\displaystyle 2\pi }$ бейеклегендәге теләһә ниндәй горизонталь һыҙатты алырға мөмкин.
• ${\displaystyle e^{z}}$ — сығарылмаһы (шулай уҡ ярашлы рәүештә интегралы ла) үҙенә тигеҙ булған берҙән-бер функция.
• Комплекслы аргументлы ${\displaystyle z=x+iy}$ алгебрак экспонента түбәндәгесә билдәләнергә мөмкин:

  ${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)}$ (Эйлер формулаһы)

  • Атап әйткәндә, (Эйлер тождествоһы)

    ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$ тигеҙлеге дөрөҫ

Вариациялары һәм дөйөмләштереүҙәр

Оҡшаш рәүештә экспонента ирекле ассоциатив алгебра элементы өсөн билдәләнә. Конкрет осраҡта шулай уҡ күрһәтелгән сикләмәләр бар икәнен иҫбатлау талап ителә.

Матрицалы экспонента

Төп мәҡәлә: Матричная экспонента

Квадрат матрицанан (йәки һыҙыҡлы операторҙан) экспонентаны формаль рәүештә, матрицаны ярашлы рәткә ҡуйып билдәләргә мөмкин:

${\displaystyle \exp A=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}.}$

Шул рәүешле билдәләнгән рәттең теләһә ниндәй сикләнгән нормалы ${\displaystyle A}$ операторы өсөн сикләмәһе бар, сөнки ${\displaystyle A:}$ нормаһы экспонентаһы ${\displaystyle \exp \|A\|.}$ өсөн рәт менән мажорлана (мажорируется). Тимәк, ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ матрицаһынан экспонента һәр ваҡыт билдәләнә һәм үҙе матрица булып тора. Матрицалы экспонента ярҙамында коэффициенттары даими булған һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сығарылышы күренешен еңел бирергә мөмкин: башланғыс шарты ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ булған ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}}$ тигеҙләмәһенең сығарылышы ${\displaystyle x(t)=\exp(At)x_{0}.}$

h-экспонента

${\displaystyle h}$-экспонентаны индереү икенсе бик яҡшы сикләмәгә нигеҙләнгән: ${\displaystyle e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.}$ ${\displaystyle h\to 0}$ булғанда ғәҙәттәге экспонента килеп сыға^[1].

Кире функция

Экспоненциаль функцияға кире функция — натураль логарифм. ${\displaystyle \ln x}$ тип тамғалана: ${\displaystyle \ln x=\log _{e}x.}$

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Күрһәткесле функция
• Экспоненциаль функцияларҙың интегралдары исемлеге

Әҙәбиәт

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Һылтанмалар

• "Экспонента и число е: просто и понятно 2015 йыл 25 сентябрь архивланған." — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained (инг.)

Иҫкәрмәләр

1. A.I. Olemskoi, S.S. Borysov,a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi