Гарманічны шэраг гукаў

Гарманічны шэраг, таксама рад гукаў^[1] — пасьлядоўнасьць гукаў, дзе асноўная частасьць^[2] кожнага гуку зьяўляецца цэлым кратным самыя ніжэй асноўнай частасьці^[3][4]; таксама можа называцца верхняя натуральная гарманічная ска́ла^[5] або натуральны ці абэртонавы гукарад^[6][7].

Гарманічны шэраг гукаў струны: з памяншэньнем даўжыні хвалі ў ${\displaystyle n}$ разоў, частата ў ${\displaystyle n}$ разоў павялічваецца.

Гукі гарманічнага шэрагу называюць аліквотнымі, парцыяльнымі, частковымі тонамі ці абэртонамі^[8][9]. Пішучы ці кажучы пра абэртоны і частковыя тоны лікава, варта правільна нумараваць кожны, каб пазьбегнуць блытаніны аднаго да іншага: другі абэртон ня можа быць трэцім частковым тонам, таму што гэта другі гук у пасьлядоўнасьці^[10]. Па гэтай прычыне першы частковы тон, або асноўны тон, можа лічыцца першым абэртонам, калі ўзьнікае такая неабходнасьць.^[11]

${\displaystyle C}$-сьпеўгук^[12] зь першых васьмі абэртонаў.

Адначасовае гучаньне ўсіх абэртонаў гарманічнага шэрагу ўтворыць так званы сьпевагук(en)^[13][14], звычайна чуваць як адна вышыня на ўзроўні асновы, гэта значыць самага нізкага, першага абэртона. Тэмбр сьпеўгуку залежыць ад разьмеркаваньня гучнасьці на мностве ўсіх абэртонаў і можа перамяшчаць адчуваньне вышыні сьпеўгука на ўзровень другога ці трэцяга ці нейкага іншага абэртона ў асобных выпадках блізкай да нуля гучнасьці некаторых обэртонавых падмностваў.

Музычная натацыя

У першым набліжэньні (без энгарманічных, то бок мікратонаў, выпраўленьняў) найбольш дакладнай можа лічыцца, напрыклад, музычная натацыя Кэтлін Шлезынгер(en)^[15]:

${\displaystyle {\mathsf {H}}}$ARMONIC ${\displaystyle {\mathsf {S}}}$ERIES IN ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

Іста ў тым, што ацэнку любога гукарада, а натуральнага асабліва, лепш праводзіць праз параўнаньне з пітагарэйскімі вышынямі(en)^[16]. Такое параўнаньне выяўляе ў мностве першых 16-ці абэртонаў фрагмэнт пітагарычнага ланцужку з 2-х чыстых квінт^[17], ўтвораны трыма абэртонамі з нумарамі 4, 6, 9; і падмноства абэртонаў пітагорыі вышынь, які зьмяшчае ня толькі пералічаныя абэртоны, але і такія з актаўных ланцужкоў, дзе знаходзяцца гэтыя пералічаныя. Гэты факт наглядна дэманструе стаўленьне на мностве матрычнай будыніны, што адлюстроўвае вышыні нотнага прыкладу з прыцягненьнем літарнай натацыі Гельмгольца, дзе прыстаўкамі ${\displaystyle \theta }$ (від па-грэцку: Πυθαγόρας) адзначаныя пітагарычныя ноты і стрэлкамі ― ланцужок чыстых квінт:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\vdots \\\theta c^{3}[16]&&\vdots \\\theta c^{2}[8]&&\theta g^{2}[12]&&\vdots \\\theta c^{1}[4]&\leftrightarrows &\theta g^{1}[6]&\leftrightarrows &\theta d^{2}[9]\\\theta c[2]&&\theta g[3]\\\theta C[1]\end{matrix}}\right\}\subset \left\{{\begin{matrix}\vdots &&\vdots &&\vdots \\\theta c^{3}[16]\\b^{2}[15]&&b^{2}[15]\\bes^{2}[14]\\a^{2}[13]\\\theta g^{2}[12]&&\theta g^{2}[12]\\f^{2}[11]\\e^{2}[10]\\\theta d^{2}[9]&&\theta d^{2}[9]&&\theta d^{2}[9]\\\theta c^{2}[8]\\bes^{1}[7]&&&\swarrow \nearrow \\\theta g^{1}[6]&&\theta g^{1}[6]\\e^{1}[5]&\swarrow \nearrow \\\theta c^{1}[4]\\\theta g[3]&&\theta g[3]\\\theta c[2]\\\theta C[1]\end{matrix}}\right\}.}$

Падмноства непітагарыйскіх обэртонаў застаецца пасьля выдаленьня пітагарыйскага падмноства з мноства ўсіх абэртонаў шэрагу:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots \\b^{2}[15]&b^{2}[15]\\bes^{2}[14]&&bes^{2}[14]\\a^{2}[13]\\f^{2}[11]\\e^{2}[10]&e^{2}[10]\\bes^{1}[7]&&bes^{1}[7]\\e^{1}[5]&e^{1}[5]\\\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots \\\theta c^{3}[16]\\b^{2}[15]&b^{2}[15]\\bes^{2}[14]\\a^{2}[13]\\\theta g^{2}[12]&\theta g^{2}[12]\\f^{2}[11]\\e^{2}[10]\\\theta d^{2}[9]&\theta d^{2}[9]&\theta d^{2}[9]\\\theta c^{2}[8]\\bes^{1}[7]\\\theta g^{1}[6]&\theta g^{1}[6]\\e^{1}[5]\\\theta c^{1}[4]\\\theta g[3]&\theta g[3]\\\theta c[2]\\\theta C[1]\end{matrix}}\right\}\setminus \left\{{\begin{matrix}\vdots \\\theta c^{3}[16]&\vdots \\\theta c^{2}[8]&\theta g^{2}[12]&\vdots \\\theta c^{1}[4]&\theta g^{1}[6]&\theta d^{2}[9]\\\theta c[2]&\theta g[3]\\\theta C[1]\end{matrix}}\right\}.}$

Калі непітагарычныя вышыні параўноўваць з падыходнымі пітагорыі, то першыя адрозьніваюцца ад другіх на невялікія інтэрвалы, званыя комамі(ru), сярод разнастайнасьці якіх адна з найбольш вядомых ― сынтанічная кома Дзідыма(ru)^[18] (далейшае абазначэньне ${\displaystyle \Delta \iota {,}}$ ― ад па-грэцку: Δίδυμος ― для павышэньня, і інвертаванае ― ${\displaystyle \iota \Delta {,}}$ ― для паніжэньня):

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}\Delta \iota {,}&=&1200\cdot \log _{2}(81/80)&\approx &+21{,}51{\cancel {\mbox{C}}}[{\mbox{Cent}}];\\\iota \Delta {,}&=&1200\cdot \log _{2}(80/81)&\approx &-21{,}51{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}}$

Паколькі непітагарычныя вышыні ${\displaystyle e^{1}[5],e^{2}[10],b^{2}[15]}$ могуць быць атрыманы зь пітагорыі ${\displaystyle \theta e^{1}[81/16],\theta e^{2}[81/8],\theta b^{2}[243/16]}$ шляхам паніжэньня апошніх на ${\displaystyle \iota \Delta {,}[80/81]}$, іх трэба запісваць як ${\displaystyle \iota \Delta {,}\theta e^{1}[5];\iota \Delta {,}\theta e^{2}[10];\iota \Delta {,}\theta b^{2}[15]}$. Сапраўды:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\iota \Delta {,}\theta b^{2}[15]&=&\iota \Delta {,}\theta b^{2}[(80/81)\cdot (243/16)\equiv (80/16)\cdot (243/81)]&=&b^{2}[5\cdot 3\equiv 15];\\\iota \Delta {,}\theta e^{2}[10]&=&\iota \Delta {,}\theta e^{2}[(80/81)\cdot (81/8)\equiv (80/8)\cdot (81/81)]&=&e^{2}[10\cdot 1\equiv 10];\\\iota \Delta {,}\theta e^{1}[5]&=&\iota \Delta {,}\theta e^{1}[(80/81)\cdot (81/16)\equiv (80/16)\cdot (81/81)]&=&e^{1}[5\cdot 1\equiv 5].\end{array}}}$

Для дакладнай натацыі вышынь ${\displaystyle bes^{1}[7],bes^{2}[14]}$ патрэбна яшчэ адна кома, вядомая як сэптымальная кома Архіта(en)^[19] (далейшае абазначэньне ${\displaystyle \mathrm {A} \rho {,}}$ ― від па-грэцку: Αρχύτας ― для павышэньня, і інвертаванае ― ${\displaystyle \rho \mathrm {A} {,}}$ ― для паніжэньня):

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}{\mbox{A}}\rho {,}&=&1200\cdot \log _{2}(64/63)&\approx &+27{,}26{\cancel {\mbox{C}}};\\\rho {\mbox{A}}{,}&=&1200\cdot \log _{2}(63/64)&\approx &-27{,}26{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}}$

З дапамогай прэфіксаў паніжэньне на ${\displaystyle \rho {\mbox{A}}{,}[63/64]}$ пітагорыі вышынь ${\displaystyle \theta bes^{1}[64/9],\theta bes^{2}[128/9]}$ натацыя дакладнага інтанаваньня для ${\displaystyle bes^{1}[7],bes^{2}[14]}$ атрымоўвае выгляд ${\displaystyle \rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{1}[7],\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{2}[14]}$, праўдзівасьць якога лёгка правяраецца:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{2}[14]&=&\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{2}[(63/64)\cdot (128/9)\equiv (63/9)\cdot (128/64)]&=&bes^{2}[7\cdot 2\equiv 14];\\\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{1}[7]&=&\rho {\mbox{A}}{,}\theta bes^{1}[(63/64)\cdot (64/9)\equiv (63/9)\cdot (64/64)]&=&bes^{1}[7\cdot 1\equiv 7].\end{array}}}$

Вышыні ${\displaystyle f^{2}[11]}$ неабходная ўндэцымальная кома аль-Фарабі^[20] (абазначэньне ${\displaystyle \Phi \alpha {,}}$ ― ад па-грэцку: αλ-Φαράμπι ― для павышэньня, і інвэртаванае ― ${\displaystyle \alpha \Phi {,}}$ ― для паніжэньня):

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}\Phi \alpha {,}&=&1200\cdot \log _{2}(33/32)&\approx &+53{,}27{\cancel {\mbox{C}}};\\\alpha \Phi {,}&=&1200\cdot \log _{2}(32/33)&\approx &-53{,}27{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}}$

Прэфікс павышэньня ${\displaystyle \Phi \alpha {,}[33/32]}$ прыводзіць пітагарычную натацыю ${\displaystyle \theta f^{2}[32/3]}$ да выгляду ${\displaystyle \Phi \alpha {,}\theta f^{2}[11]}$, што адпавядае дакладнаму інтанаваньню ${\displaystyle f^{2}[11]}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Phi \alpha {,}\theta f^{2}[11]&=&\Phi \alpha {,}\theta f^{2}[(33/32)\cdot (32/3)\equiv (33/3)\cdot (32/32)]&=&f^{2}[11\cdot 1\equiv 11].\end{array}}}$

Яшчэ адной вышыні ${\displaystyle a^{2}[13]}$ неабходная трыдэцымальная кома^[21] (абазначэньне ${\displaystyle \rho \iota {,}}$ ― ад па-грэцку: δεκατρία ― для павышэньня, і інвертаванае ― ${\displaystyle \iota \rho {,}}$ ― для паніжэньня):

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}\rho \iota {,}&=&1200\cdot \log _{2}(27/26)&\approx &+65{,}34{\cancel {\mbox{C}}};\\\iota \rho {,}&=&1200\cdot \log _{2}(26/27)&\approx &-65{,}34{\cancel {\mbox{C}}}.\end{array}}}$

Паніжэньне ${\displaystyle \theta a^{2}[27/2]}$ на ${\displaystyle \iota \rho {,}}$ дае ${\displaystyle \iota \rho {,}\theta a^{2}[13]}$, што азначае дакладнае інтанаваньне ${\displaystyle a^{2}[13]}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\iota \rho {,}\theta a^{2}[13]&=&\iota \rho {,}\theta a^{2}[(26/27)\cdot (27/2)\equiv (26/2)\cdot (27/27)]&=&a^{2}[13\cdot 1\equiv 13].\end{array}}}$

Трэба ўлічыць, што дваістасьць існаваньня кратнасьці гарманічнай^[22] і субгарманічнай^[23], а таксама інтэрвалаў і тонаў^[24][25], адбілася ў дваістасьці нумарацыі (праз косу, радзей звычайную, дробавую рысу) вышынь сыстэмы дакладнай інтанацыі. Перад (над) рысай пішуць нумар вышыні ў шэрагу абэртонаў, а пасьля (зьнізу) рысы — нумар унцертон, ад якога гэты шэраг пабудаваны^[26].

Абэртоны нотнага прыкладу Кэтлін Шлезынгер пранумараваны натуральнымі чысламі, але гарманічны шэраг зьяўляецца падсыстэмай дакладнай інтанацыі. Тоесна нумарацыя ў падвойнай манэры, з адзінкай пасьля рысы, яўна выкажа, што ўвесь шэраг пабудаваны ад першага ўнцертона (супадае зь першым абэртонам) і кожны нумар перад рысай паказвае на яго прыналежнасьць менавіта да шэрагу абэртонаў ад агульнай асновы, гэта значыць ад першага ўнцертона ў шэрагу такіх ад гэтай агульнай аснове.

Такім чынам, калі для поўнай пэўнасьці дадаць яшчэ й абазначэньне адсутнасьці любой комы ${\displaystyle \chi {,}}$ (від па-грэцку: χωρίς), мноства першых 16-ці абэртонаў мае выгляд:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline _{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\Phi \alpha {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \rho {,}\theta }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }\\^{~~C}_{[1/1]}&^{~~c}_{[2/1]}&^{~~g}_{[3/1]}&^{~~c^{1}}_{[4/1]}&^{~~e^{1}}_{[5/1]}&^{~~g^{1}}_{[6/1]}&^{~bes^{1}}_{[7/1]}&^{~~c^{2}}_{[8/1]}&^{~~d^{2}}_{[9/1]}&^{~~e^{2}}_{[10/1]}&^{~~f^{2}}_{[11/1]}&^{~~g^{2}}_{[12/1]}&^{~~a^{2}}_{[13/1]}&^{~bes^{2}}_{[14/1]}&^{~~b^{2}}_{[15/1]}&^{~~c^{3}}_{[16/1]}&^{\cdots }\\\hline \end{array}}\right\}}$

Сумяшчэньне з нотным прыкладам паказвае, што літарныя імёны яму цалкам адпавядаюць. Таму і натацыя Кэтлін Шлезынгер вылучаецца зь іншых вядомых як найбольш верны для прымяненьня да яе энгарманічных фікт (у гэтым прыкладзе яны над нотамі), якія прадпісваюць ўсе неабходныя мікратонавыя выгібы вышынь для дасягненьня іх дакладнага інтанаваньня.

${\displaystyle {\mathsf {\Gamma }}}$АРМАНІЧНЫ ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$АД IN ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline _{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }\\\hline \end{array}}~~~~~~~~~~~~{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline _{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\Phi \alpha {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }&_{\iota \rho {,}\theta }^{~~~\pitchfork }&_{\rho \mathrm {A} {,}\theta }&_{\iota \Delta {,}\theta }&_{\chi {,}\theta }\\\hline \end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline ^{~~C}_{\left[{\frac {1}{1}}\right]}&^{~~c}_{\left[{\frac {2}{1}}\right]}&^{~~g}_{\left[{\frac {3}{1}}\right]}\\\hline \end{array}}~~~~~~~~~{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline ^{~~c^{1}}_{\left[{\frac {4}{1}}\right]}&^{~~e^{1}}_{\left[{\frac {5}{1}}\right]}&^{~~g^{1}}_{\left[{\frac {6}{1}}\right]}&^{bes^{1}}_{\left[{\frac {7}{1}}\right]}&^{~~c^{2}}_{\left[{\frac {8}{1}}\right]}&^{~~d^{2}}_{\left[{\frac {9}{1}}\right]}&^{~~e^{2}}_{\left[{\frac {10}{1}}\right]}&^{~~f^{2}}_{\left[{\frac {11}{1}}\right]}&^{~~g^{2}}_{\left[{\frac {12}{1}}\right]}&^{~~a^{2}}_{\left[{\frac {13}{1}}\right]}&^{~bes^{2}}_{\left[{\frac {14}{1}}\right]}&^{~~b^{2}}_{\left[{\frac {15}{1}}\right]}&^{~~c^{3}}_{\left[{\frac {16}{1}}\right]}\\\hline \end{array}}}$

Зьвяртаючы ўвагу на факт прысутнасьці ў кожнай энгарманічнай фікты сымбаля ${\displaystyle \theta }$, што ўказвае пітагарычны ўзровень вышыні, варта памятаць, што выгін звычайнай тэмпэраванай вышыні, напрыклад, да вышыні дакладнага інтанаваньня трэба спачатку выканаць да пітагарычнага ўзроўню, а затым альбо такім і пакінуць, калі каматычнага прэфіксу няма ці ёсьць бескаматычны ${\displaystyle \chi {,}}$ прэфікс, альбо ад пітагарычнага ўзроўню выканаць яшчэ выгін, указаны каматычным прэфіксам.

Значок ${\displaystyle \pitchfork }$ над ${\displaystyle \theta }$ вышыні ${\displaystyle a^{2}}$ ўвязвае яе пітагарычны ўзровень з стандартнай частатой налады^[27], што адлюстроўвае роўнасьць:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}_{\theta }^{\pitchfork }a^{2}[27/2]-(\theta P8[2/1])&=&_{\theta }^{\pitchfork }a^{(2-1\equiv 1)}[(27/2)\cdot (1/2)\equiv (27/4)]&=&{\pitchfork }a^{1}[27/4][440{\mbox{Hz}}].\end{array}}}$

Глядзіце таксама

• Пераўтварэньне Фур’е
• Шэраг Фур’е