Матэматычны аналіз

Матэматы́чны ана́ліз — разьдзел матэматыкі, у якім функцыі і іх абагульненьні вывучаюцца мэтадам лімітаў^[1]. Матэматычны аналіз мае дзьве асноўныя галіны — дыфэрэнцыйнае зьлічэньне і інтэгральнае зьлічэньне, якія зьвязаныя тэарэмай аналізу. Таксама матэматычны аналіз улучае меры мноства, ліміты, лікавыя шэрагі ды аналітычныя функцыі.

Прадметам вывучэньня дысцыплін матэматычнага аналізу зьяўляюцца колькасныя стасункі рэчаіснага сьвету (у адрозьненьне ад геамэтрычных дысцыплін, якія займаюцца ягонымі прасторавымі ўласьцівасьцямі)^[2].

Гістарычны нарыс

Назва «матэматычны аналіз» — скарочанае зьмяненьне старой назвы «аналіз бясконца малых». Апошняя больш перадае зьмест дысцыпліны, але і яна скарочаная. Назва «аналіз празь бясконца малыя» характарызаваў бы прадмет больш дакладна^[3]. Паняцьце ліміту шчыльна зьвязанае з бясконца малымі велічынямі, таму матэматычны аналіз фактычна вывучае функцыі, функцыяналы і апэратары мэтадам бясконца малых. Папярэднікам матэматычнага аналізу быў антычны мэтад вычэрпваньня і мэтад непадзельных. Усе тры кірункі, уключаючы аналіз, радніць агульная зыходная ідэя: раскладаньне на бясконца малыя элемэнты, прырода якіх, зрэшты, уяўлялася аўтарам ідэі даволі цьмяна. Альгебраічны падыход (вылічэньне бясконца малых) пачынае зьяўляцца ў Джона Ўоліса, Джэймса Грэгары і Ісака Бароў. У поўнай меры новае дыфэрэнцыяльнае вылічэньне стварыў Ньютан, які, аднак, доўгі час не публікаваў свае адкрыцьці.

Афіцыйнай датай нараджэньня дыфэрэнцыйнага вылічэньня можна лічыць травень 1684, калі Ляйбніц апублікаваў першы артыкул «Новы мэтад максымумаў і мінімумаў…»^[4]. Згаданы артыкул у сьціслай форме выкладаў прынцыпы новага мэтаду, названага дыфэрэнцыйным зьлічэньнем.

Тэорыя лімітаў

У матэматычным аналізе разглядаюцца розныя лікавыя мноствы — натуральныя лікі, рэчаісныя лікі, адрэзкі, інтэрвалы і інш. Пад камплексным лікам разумеюць упарадкаваную пару рэчаісных лікаў. Рэчаісныя лікі зьяўляюцца падмноствам камплексных. Для альгебраічнай формы камплекснага ліку Леанардам Ойлерам уведзены лік i.