From Wikipedia, the free encyclopedia
Пака́знікавая функцыя [1], паказальная функцыя[2], экспаненцыяльная функцыя — матэматычная функцыя выгляду
Паказнікавая функцыя | |
---|---|
Image of function | set of positive real numbers[d] |
Процілегла | лагарыфм |
Медыяфайлы на Вікісховішчы |
дзе е = 2,718… — аснова натуральнага лагарыфму.
Паказнікавая (паказальная) функцыя прымае толькі дадатныя значэнні пры сапраўдных значэннях х. На камплекснай плоскасці яна прымае ўсе камплексныя значэнні, акрамя нуля. Графік функцыі называецца экспанентай. Адваротнай да паказнікавай (паказальнай) з’яўляецца лагарыфмічная функцыя (таму паказнікавую функцыю часам называюць антылагары́фмам).
У курсе матэматычнага аналізу разглядаецца паказнікавая функцыя віду
дзе — аснова паказнікавай функцыі, — паказнік ступені, аргумент паказнікавай функцыі.
Абсяг (вобласць) вызначэння паказнікавай функцыі ёсць мноствам усіх рэчаісных (сапраўдных) лікаў .
Звычайна прымаюць, што — рэчаісны (сапраўдны) дадатны лік, не роўны адзінцы.
У тэорыі функцый камплекснай зменнай аснова можа быць любым камплексным лікам, не роўным нулю і адзінцы.
Няхай — рэчаісны лік, і .
Для любых рэчаісных праўдзяцца наступныя дзве тоеснасці
Заўвага 1: гэтыя тоеснасці ёсць сімвальным запісам таго факту, што лагарыфм па аснове ёсць адваротнай функцыяй для паказнікавай функцыі с той жа асновай .
Заўвага 2: калі і , гэтыя тоеснасці справядлівыя толькі з пэўнымі абмоўкамі.
Заўвага 3: для натуральнай паказнікавай функцыі гэтыя тоеснасці маюць выгляд
Уласцівасці паказнікавай функцыі напрамую вынікаюць з уласцівасцей аперацыі ўзвядзення ў ступень.
Заўвага: гэта ўласцівасць можа быць карысная пры пабудове графікаў.
Заўвага: дзякуючы гэтай і папярэдняй уласцівасці, любую функцыю выгляду
дзе , , і — некаторыя лікавыя сталыя, можна прывесці да выгляду
дзе, у сваю чаргу, і — іншыя лікавыя сталыя, якія залежаць ад ,, і .
Адсюль і вынікае, што для вывучэння любой паказнікавай функцыі дастаткова ведаць паводзіны натуральнай паказнікавай функцыі ex.
дзе — адвольная сталая.
Заўвага: для натуральнай паказнікавай функцыі гэтыя роўнасці маюць выгляд
У гэтым раздзеле пад паказнікавай функцыяй будзем разумець функцыю .
2. Як сума бясконцага шэрагу[3]:
дзе сімвалам n! пазначаны фактарыял ліку n.
3. Паказнікавая функцыя ёсць адзінай вымéрнай па Лебéгу функцыяй з умовай , якая задавальняе функцыянальнае раўнанне
для ўсіх і .
4. Паказнікавая функцыя ёсць адзінай усюды непарыўнай функцыяй, якая задавальняе ўмову і функцыянальнае раўнанне
для ўсіх і .
Найбольш цікавыя ўласцівасці функцыі выяўляюцца толькі пры разглядзе гэтай функцыі на камплекснай плоскасці.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.