Інтэграл

Інтэгра́л фу́нкцыі — аналаг сумы паслядоўнасці, адно з галоўных паняццяў матэматычнага аналізу. Паняцце ўзнікла ў сувязі з патрэбаю знаходзіць функцыі па іх вытворных (нявызначаны інтэграл) і вызначаць плошчы, аб’ёмы і г.д. (вызначаны інтэграл).

Інтэграл
Вывучаецца ў	Інтэгральнае злічэнне
Натацыя	integral symbol[d]
TeX string	\int
Аб’яднанне без перасячэнняў	спіс у кваліфікатарах[d]
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Вызначаны інтэграл як плошча фігуры

Што такое інтэграл (анімацыя)

Працэс знаходжання інтэграла называецца інтэграва́ннем.

Згодна з асноўнай тэарэмай аналізу, інтэграванне ёсць аперацыяй, адваротнай да дыферэнцавання. Гэты факт выкарыстоўваецца пры развязанні дыферэнцыяльных раўнанняў.

Існуе некалькі розных азначэнняў аперацыі інтэгравання, якія адрозніваюцца ў тэхнічных дэталях. Аднак усе яны ўзгодненыя, г.зн. любыя два спосабы інтэгравання, калі іх можна прымяніць да дадзенай функцыі, дадуць адзін і той жа вынік. Найбольш простым з’яўляецца інтэграл Рымана.

Нявызначаны інтэграл

Хай дадзена ${\displaystyle f(x)}$ — функцыя сапраўднай зменнай. Нявызначаным інтэгралам функцыі ${\displaystyle f(x)}$ ці яе першаіснай называецца такая функцыя ${\displaystyle F(x)}$, вытворная ад якой роўная ${\displaystyle f(x)}$, то-бок ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. Пазначаецца гэта так:

${\displaystyle F(x)=\int f(x)dx}$

У гэтым запісе${\displaystyle \int }$ -- знак інтэграла, ${\displaystyle f(x)}$ называецца падынтэгральны функцыяй, а ${\displaystyle dx}$ -- элементам інтэгравання.

Першаісная ёсць не для кожнай функцыі. Лёгка паказаць, што, прынамсі, усё бесперапынныя функцыі маюць першаісную. Паколькі вытворныя двух функцый, якія адрозніваюцца на канстанту, супадаюць, у выраз для нявызначанага інтэграла ўключаюць адвольную пастаянную ${\displaystyle C}$, напрыклад

${\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C}$

Аперацыя знаходжання інтэграла называецца інтэграваннем. Аперацыі інтэгравання і дыферэнцыявання процілеглыя адна другой у наступным сэнсе^[1]:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+C}$