Адваротная функцыя

Не блытаць з Адваротная велічыня.

Адваро́тная фу́нкцыя — функцыя, якая абарачае вызначаную функцыю: калі функцыя f ад аргумента x дае значэнне y, то яе адваротная функцыя g ад y дае x, г. зн. f(x) = y, і g(y) = x. Коратка гэта можна запісаць так: g(f(x)) = x.

Функцыя ${\displaystyle f}$ і яе адваротная функцыя ${\displaystyle f^{-1}}$. Калі ${\displaystyle f(a)=3}$, то ${\displaystyle f^{-1}(3)=a}$

Функцыю, адваротную да функцыі f, звычайна абазначаюць як f ⁻¹.

Функцыя, для якой існуе адваротная функцыя, называецца абарачальнаю.

Азначэнне

Функцыя ${\displaystyle g:Y\to X}$ з'яўляецца адваротнаю да функцыі ${\displaystyle f:X\to Y}$, калі выконваюцца наступныя тоеснасці:

• ${\displaystyle f(g(y))=y}$ для ўсіх ${\displaystyle y\in Y;}$
• ${\displaystyle g(f(x))=x}$ для ўсіх ${\displaystyle x\in X.}$

Існаванне

Каб знайсці адваротную функцыю, трэба развязаць ураўненне ${\displaystyle y=f(x)}$ адносна ${\displaystyle x}$. Калі яно мае больш чым адзін корань, то функцыі, адваротнай да ${\displaystyle f}$, не існуе. Такім чынам, функцыя ${\displaystyle f(x)}$ абарачальная на прамежку ${\displaystyle (a,b)}$ тады і толькі тады, калі на гэтым прамежку яна ін'ектыўная.

Для непарыўнай функцыі ${\displaystyle F(y)}$ выразіць ${\displaystyle y}$ з ураўнення ${\displaystyle x-F(y)=0}$ можна ў тым і толькі тым выпадку, калі функцыя ${\displaystyle F(y)}$ манатонная (см. тэарэма пра няяўную функцыю). Тым не менш, непарыўную функцыю заўсёды можна абярнуць на прамежках яе манатоннасці. Напрыклад, ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ з'яўляецца адваротнаю да ${\displaystyle x^{2}}$ на ${\displaystyle [0,+\infty )}$, хоць на прамежку ${\displaystyle (-\infty ,0]}$ адваротная функцыя іншая: ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$.

Прыклады

• Калі ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}}$, дзе ${\displaystyle a>0,}$ то ${\displaystyle F^{-1}(x)=\log _{a}x.}$
• Калі ${\displaystyle F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R} }$, дзе ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ вызначаныя пастаянныя і ${\displaystyle a\neq 0}$, то ${\displaystyle F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.}$
• Калі ${\displaystyle F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z} }$, то ${\displaystyle F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.}$

Уласцівасці

• Вобласцю вызначэння ${\displaystyle F^{-1}}$ з'яўляецца мноства ${\displaystyle Y}$, а вобласцю значэнняў — мноства ${\displaystyle X}$.
• Па азначэнню маем:

${\displaystyle y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)}$

ці

${\displaystyle F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y,}$

${\displaystyle F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X,}$

або карацей

${\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y},}$

${\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X},}$

дзе ${\displaystyle \circ }$ абазначае кампазіцыю функцый, а ${\displaystyle \mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}}$ — тоесныя адлюстраванні на ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ адпаведна.

• Функцыя ${\displaystyle F}$ з'яўляецца адваротнаю да ${\displaystyle F^{-1}}$:

${\displaystyle \left(F^{-1}\right)^{-1}=F}$.

• Няхай ${\displaystyle F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R} }$ — біекцыя. Няхай ${\displaystyle F^{-1}:Y\to X}$ яе адваротная функцыя. Тады графікі функцый ${\displaystyle y=F(x)}$ і ${\displaystyle y=F^{-1}(x)}$ сіметрычныя адносна прамой ${\displaystyle y=x}$.

Раскладанне ў ступенны рад

Адваротную функцыю аналітычнай функцыі можна прадставіць у выглядзе ступеннага рада:

${\displaystyle F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},}$

дзе каэфіцыенты ${\displaystyle A_{k}}$ задаюцца рэкурсіўнаю (зваротнаю) формулай:

${\displaystyle A_{k}(x)={\begin{cases}A_{0}(x)=x,\\A_{n+1}(x)={\frac {A_{n}'(x)}{F'(x)}}.\end{cases}}}$

Гл. таксама

• Біектыўнае адлюстраванне
• Тэарэма Лагранжа аб абарачэнні радоў
• Адваротныя трыганаметрычныя функцыі