Кампазіцыя функцый

У матэматыцы кампазіцыя функцый, ці суперпазіцыя функцый — гэта прымяненне адной функцыі к выніку другой.

g ∘ f , кампазіцыя f і g. Напрыклад, (g ∘ f )(c) = #.

Кампазіцыя функцый ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle F}$ звычайна абазначаецца ${\displaystyle G\circ F}$, што абазначае прымяненне функцыі ${\displaystyle G}$ к выніку функцыі ${\displaystyle F}$.

Азначэнне

Няхай ${\displaystyle F:X\to Y}$ і ${\displaystyle G:F(X)\subset Y\to Z}$ — дзве функцыі. Тады іх кампазіцыяй называецца функцыя ${\displaystyle G\circ F:X\to Z}$, вызначаная роўнасцю:

${\displaystyle (G\circ F)(x)=G(F(x)),\quad x\in X.}$

Звязаныя азначэнні

• Кампазіцыю дзвюх функцый могуць абазначаць тэрмінам «складаная функцыя». Тым не менш, ён часцей ужываецца ў сітуацыі, калі на ўваход функцыі некалькіх зменных падаецца адразу некалькі функцый ад аднае ці некалькіх зыходных зменных. Напрыклад, складанай можна назваць функцыю ${\displaystyle G}$ віду

  ${\displaystyle G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),}$

таму што яна ўяўляе сабой функцыю ${\displaystyle F}$, якой на ўваход падаюцца вынікі функцый ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$.

Уласцівасці кампазіцыі

• Кампазіцыя асацыятыўная:

  ${\displaystyle (H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).}$

• Калі ${\displaystyle F=\mathrm {id} _{X}}$ — тоеснае адлюстраванне на ${\displaystyle X}$, г.зн.

  ${\displaystyle F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\quad \forall x\in X,}$

то

${\displaystyle G\circ \mathrm {id} _{X}=G.}$

• Калі ${\displaystyle G=\mathrm {id} _{Y}}$ — тоеснае адлюстраванне на ${\displaystyle Y}$, г.зн.

  ${\displaystyle G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\quad \forall y\in Y,}$

то

${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ F=F.}$

• Разгледзім прастору ўсіх біекцый мноства ${\displaystyle X}$ на сябе і абазначым яе ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$. Г.зн. калі ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}$, то ${\displaystyle F:X\to X}$ — біекцыя. Тады
  • кампазіцыя функцый з ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$ з'яўляецца бінарнай аперацыяй;
  • а ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}$ — групай;
  • ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ з'яўляецца нейтральным элементам гэтай групы;
  • адваротным да элемента ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}$ з'яўляецца ${\displaystyle F^{-1}\in {\mathcal {F}}_{X}}$ — адваротная функцыя.
  • Група ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}$, увогуле кажучы, не камутатыўная, г.зн.

    ${\displaystyle F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}.}$

Дадатковыя ўласцівасці

• Кампазіцыя непарыўных функцый непарыўная.

Хай ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})}$ — тапалагічныя прасторы. Хай ${\displaystyle f:X\to Y}$ і ${\displaystyle g:Y\to Z}$ — дзве функцыі, ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),\;f\in C(x_{0}),\;g\in C(y_{0})}$. Тады ${\displaystyle g\circ f\in C(x_{0})}$.

• Кампазіцыя дыферэнцыруемых функцый дыферэнцыруемая.

Хай ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;y_{0}=f(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).}$ Тады ${\displaystyle g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$, і

${\displaystyle (g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0}).}$

Літаратура

• Сложная функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — Т. 4. — М.: Советская энциклопедия, 1984. Столбцы 1214—1216.