Алгебраічнае ўраўненне

Алгебраічнае ўраўненне (паліномнае ўраўненне) — ураўненне выгляду

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$

дзе ${\displaystyle P}$ — мнагачлен ад зменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ якія называюцца невядомымі.

Каэфіцыенты мнагачлена ${\displaystyle P}$ звычайна бяруцца з некаторага поля ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ і тады ўраўненне ${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0}$ называецца алгебраічным ураўненнем над полем ${\displaystyle \mathbb {F} .}$

Ступенню алгебраічнага ўраўнення называюць ступень мнагачлена ${\displaystyle P}$.

Напрыклад, ураўненне

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}+y^{2}z^{5}+x^{3}-xy^{2}+{\sqrt {3}}x^{2}-\sin {1}=0}$

з'яўляецца алгебраічным ураўненнем сёмай ступені ад трох зменных (з трыма невядомымі) над полем рэчаісных лікаў.

Звязаныя азначэнні

Значэнні зменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ якія пры падстаноўцы ў алгебраічнае ўраўненне ператвараюць яго ў тоеснасць, называюцца каранямі гэтага алгебраічнага ўраўнення.

Прыклады алгебраічных ураўненняў

• Алгебраічнае ўраўненне з адным невядомым — ураўненне выгляду ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}=0,}$ дзе ${\displaystyle n}$ — натуральны лік.
• Лінейнае ўраўненне
  • ад адной зменнай: ${\displaystyle ax+b=0,\quad a\neq 0.}$
  • ад некалькіх зменных: ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0.}$
• Квадратнае ўраўненне
  • ад адной зменнай: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0.}$
• Кубічнае ўраўненне
  • ад адной зменнай: ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0.}$
• Ураўненне чацвёртай ступені
  • ад адной зменнай: ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.}$
• Ураўненне пятай ступені
  • ад адной зменнай:${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,\quad a\neq 0.}$
• Ураўненне шостай ступені
  • ад адной зменнай: ${\displaystyle ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\quad a\neq 0.}$
• Зваротнае ўраўненне — алгебраічнае ўраўненне выгляду: ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0,}$ дзе каэфіцыенты на сіметрычных адносна сярэдзіны месцах роўныя паміж сабой, то бок, калі ${\displaystyle a_{n-k}=a_{k}}$ пры ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n.}$

Гл. таксама

• Алгебраічная функцыя
• Асноўная тэарэма алгебры
• Рад Пюізе

Спасылкі

• Algebraic Equation на MathWorld (англ.)