Лінейнае ўраўненне

Лінейнае ўраўненне — гэта алгебраічнае ўраўненне першай ступені па сукупнасці невядомых^[1], г. зн. ураўненне выгляду:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b,}$

дзе

a₁, a₂, ..., a_n, b — вызначаныя лікі,

x₁, x₂, ..., x_n — невядомыя велічыні.

Пры гэтым лікі a₁, a₂, ..., a_n называюцца каэфіцыентамі ўраўнення, а b — свабодным членам.

У выпадку, калі свабодны член b = 0, лінейнае ўраўненне называецца аднародным.

Лінейнае ўраўненне можна прадставіць:

• у агульнай форме: ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0;}$
• у кананічнай форме: ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b.}$

Лінейнае ўраўненне адной зменнай

Лінейнае ўраўненне ад адной зменнай можна прывесці да выгляду:

${\displaystyle ax+b=0.}$

Колькасць рашэнняў залежыць ад параметраў a і b.

• Калі ${\displaystyle ~a=b=0,}$ то ўраўненне мае бясконцае мноства рашэнняў, бо ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :x\cdot 0=0.}$
• Калі ${\displaystyle a=0,b\neq 0,}$ то ўраўненне не мае рашэнняў, бо не існуе такіх лікаў x, для якіх ${\displaystyle 0\cdot x=-b\neq 0.}$
• Калі ${\displaystyle a\neq 0,}$ то ўраўненне мае адзінае рашэнне ${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}.}$

Лінейнае ўраўненне дзвюх зменных

Геаметрычнае месца кропак лінейнага ўраўнення ад дзвюх зменных выгляду:
y = ax + b.

Лінейнае ўраўненне дзвюх зменных можна прадставіць

• у агульнай форме: ${\displaystyle ax+by+c=0;}$
• у кананічнай форме: ${\displaystyle ax+by=-c;}$
• у выглядзе лінейнай функцыі: ${\displaystyle y=kx+m,}$ дзе ${\displaystyle k=-{\frac {a}{b}};\ m=-{\frac {c}{b}}.}$

Рашэннем або коранем такога ўраўнення называюць такую пару значэнняў зменных ${\displaystyle (x;y),}$ якая пры падстаноўцы ператварае яго ў тоеснасць. Такіх рашэнняў (каранёў) лінейнае ўраўненне з двума зменнымі мае бясконцае мноства. Геаметрычнай мадэллю (графікам) такога ўраўнення з'яўляецца прамая

${\displaystyle y=kx+m.}$

Гл. таксама

• Лінейная функцыя
• Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў

Зноскі

1. Математическая энциклопедия. Т. 3. Под ред. И. М. Виноградова. с. 356.