Біпалярныя каардынаты — артаганальная сістэма каардынат на плоскасці, заснаваная на кругах Апалонія . Для пераходу з біпалярных каардынат у дэкартавы каардынаты , служаць наступныя формулы:
{
x
=
a
s
h
τ
c
h
τ
−
cos
σ
y
=
a
sin
σ
c
h
τ
−
cos
σ
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x={\frac {a\,\mathrm {sh} \,\tau }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\\y={\frac {a\sin \sigma }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\end{matrix}}\right.}
Біпалярная сістэма каардынат дзе
0
⩽
σ
<
π
{\displaystyle 0\leqslant \sigma <\pi }
−
∞
<
τ
<
∞
{\displaystyle -\infty <\tau <\infty }
Каэфіцыенты Ламэ :
L
τ
=
L
σ
=
a
2
(
c
h
τ
−
cos
σ
)
2
.
{\displaystyle L_{\tau }=L_{\sigma }={\frac {a^{2}}{(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}}.}
Аператар Лапласа ў біпалярных каардынатах:
Δ
f
=
(
c
h
τ
−
cos
σ
)
2
a
2
(
∂
2
f
∂
σ
2
+
∂
2
f
∂
τ
2
)
.
{\displaystyle \Delta f={\frac {(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}{a^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right).}
У прасторы біпалярныя каардынаты абагульняюцца бісферычнымі .
