Законы Кеплера

Зако́ны Ке́плера — тры законы, якія апісваюць рух планет Сонечнай сістэмы. Эксперыментальна адкрыты ў пачатку XVII ст. нямецкім астраномам Іаганам Кеплерам на падставе аналізу назіранняў Ціха Браге.

З пэўнымі папраўкамі, законы Кеплера ўжывальныя для апісання руху любых нябесных цел пад дзеяннем гравітацыі. Законы Кеплера былі адкрыты эмпірычным шляхам, але яны даказваюцца матэматычна на аснове законаў Ньютана і закона сусветнага прыцягнення, якія былі адкрыты пазней. Для іх устанаўлення І. Ньютанам законы Кеплера адыгралі значную ролю^[1].

Першы закон Кеплера

Першы закон Кеплера.

Планеты рухаюцца па эліпсах, у адным з фокусаў якога знаходзіцца Сонца.

Форма эліпса і ступень яго падабенства з акружнасцю характарызуецца дачыненнем ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$, дзе ${\displaystyle c}$ — адлегласць ад цэнтра эліпса да яго фокуса (факальная адлегласць), ${\displaystyle a}$ — вялікая паўвось. Велічыня ${\displaystyle e}$ завецца эксцэнтрысітэтам эліпса. Пры ${\displaystyle c\to 0}$ эліпс ператвараецца ў акружнасць. Калі ${\displaystyle e\to 1}$, то эліпс ператвараецца ў простую.

Другі закон Кеплера

Другі закон Кеплера.

За роўныя адрэзкі часу радыус-вектар планеты выпісвае фігуры аднолькавай плошчы.

Трэці закон Кеплера

Ілюстрацыя трох законаў Кеплера з дзвюма планетарнымі арбітамі.

Квадраты сідэрычных перыядаў абарачэння дзвюх планет суадносяцца як кубы вялікіх паўвосей іх арбіт.

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}}$,

дзе ${\displaystyle {\displaystyle T_{1}}}$і ${\displaystyle {\displaystyle T_{2}}}$ — перыяды звароту дзвюх планет вакол Сонца, а ${\displaystyle {\displaystyle a_{1}}}$ і ${\displaystyle {\displaystyle a_{2}}}$ — даўжыні вялікіх паўвосяў іх арбіт. Гэта фіксуе сувязь паміж адлегласцю планет ад Сонца і іх арбітальнымі перыядамі. Цверджанне справядлівае таксама для спадарожнікаў.

Ньютан удакладніў закон, звязаўшы яго з масай.

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}(\mathrm {M} +m_{1})}{T_{2}^{2}(\mathrm {M} +m_{2})}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}}$,

дзе ${\displaystyle \mathrm {M} }$ — маса Сонца, ${\displaystyle m_{1}}$і ${\displaystyle m_{2}}$ — масы планет.

Заўважым, што

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}(M+m)}}={\frac {G}{4\pi ^{2}}}=const}$

Гісторыя

Першыя два законы апублікаваны ў 1609, трэці — у 1619 годзе^[1].

На аснове адкрытых законаў пасля шматгадовых вылічэнняў у 1627 годзе Кеплер склаў табліцы, па якіх можна было знайсці на небе становішча кожнай планеты ў любы момант часу.

У наступнай табліцы прыведзены дадзеныя, выкарыстаныя Кеплерам для эмпірычнага вывядзення яго закона:

Дадзеныя, якія выкарыстаў Кеплер (1618)

Планета	Сярэдняя адлегласць да Сонца (астранамічныя адзінкі)	Перыяд (дні)	${\textstyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$ (10-6 астранамічныя адзінкі3/дні2)
Меркурый	0.389	87.77	7.64
Венера	0.724	224.70	7.52
Зямля	1	365.25	7.50
Марс	1.524	686.95	7.50
Юпітэр	5.2	4332.62	7.49
Сатурн	9.510	10759.2	7.43

Для параўнання, вось сучасныя ацэнкі:

Сучасныя дадзеныя (Wolfram Alpha Knowledgebase 2018)

Планета	паўвось (астранамічныя адзінкі)	Перыяд (дні)	${\textstyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$ (10-6 астранамічныя адзінкі3/дні2)
Меркурый	0.38710	87.9693	7.496
Венера	0.72333	224.7008	7.496
Зямля	1	365.2564	7.496
Марс	1.52366	686.9796	7.495
Юпітэр	5.20336	4332.8201	7.504
Сатурн	9.53707	10775.599	7.498
Уран	19.1913	30687.153	7.506
Нептун	30.0690	60190.03	7.504

Зноскі

1. Физическая энциклопедия. Т. 2. Добротность — Магнитооптика / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — 702 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4. (руск.)