Лінейная алгебра

Лінейная алгебра — раздзел алгебры, які вывучае аб’екты лінейнай прыроды: вектары, вектарныя, або лінейныя прасторы, лінейныя адлюстраванні і сістэмы лінейных ураўненняў, сярод асноўных інструментаў, якія выкарыстоўваюцца ў лінейнай алгебры — вызначальнікі, матрыцы, спалучэнне. Тэорыя інварыянтаў і тэнзарныя вылічэнні звычайна таксама лічацца часткамі лінейнай алгебры.

Трохмерная еўклідавая прастора R³ з’яўляецца вектарнай прасторай, а простыя і плоскасці, што праходзяць праз пачатак каардынат, з’яўляюцца вектарнымі падпрасторамі R³. Калі выразіць гэту сістэму ў лінейнай сістэме ўраўненняў, то пункт перасячэння будзе рашэннем гэтага ўраўнення.

Вектарныя прасторы сустракаюцца ў матэматыцы і яе прыкладаннях паўсюдна. Лінейная алгебра шырока выкарыстоўваецца ў абстрактнай алгебры і функцыянальным аналізе, шырока прымяняецца ў прыродазнаўчых навуках.

Гісторыя

Першыя элементы лінейнай алгебры вынікалі з практычных вылічальных задач вакол рашэння лінейных ураўненняў, у прыватнасці, такія арыфметычныя прыёмы, як трайное правіла^[en] і правіла ілжывага палажэння^[en] былі сфармуліраваны яшчэ ў старажытнасці. У «Пачатках» Еўкліда фігуруюць дзве тэорыі «лінейнага» характару: тэорыя велічыні і тэорыя цэлых лікаў. Блізкія да сучасных матрычных метадаў падыходы да рашэнняў сістэм лінейных ураўненняў ёсць у вавілонян (сістэмы з двух ураўненняў з дзвюма пераменнымі) і старажытных кітайцаў (у «Матэматыка ў дзевяці кнігах», да трох ураўненняў з трыма пераменнымі)^[1]. Аднак пасля дасягнення нявызначанасці з асноўнымі пытаннямі знаходжання рашэнняў сістэм лінейных ураўненняў развіццё раздзела практычна не адбывалася, і нават у канцы XVIII — пачатку XIX ст. лічылася, што праблем адносна ўраўненняў першай ступені больш не існуе, прытым сістэмы лінейных ураўненняў з лікам пераменных, якія адрозніваюцца ад колькасці ўраўненняў або з лінейна-залежнымі каэфіцыентамі ў левай часты проста лічыліся некарэктнымі^[2].

Метады, якія сфарміравалі лінейную алгебру як самастойную галіну матэматыкі, уваходзяць каранямі ў іншыя раздзелы. Ферма ў 1630-е гады, стварыў класіфікацыю плоскіх крывых, увёў у матэматыку (ключавы для лінейнай алгебры) прынцып памернасці і раздзяліў задачы аналітычнай геаметрыі паводле ліку невядомых (з адным невядомым — шуканне кропкі, з дзвюма — крывой або геаметрычнага месца на плоскасці, з трыма — паверхні). Эйлер стварыў класіфікацыю крывых паводле парадкаў, звярнуўшы ўвагу на лінейны характар пераўтварэнняў каардынатаў, увёў у зварот паняцце афіннага пераўтварэння (і само слова «афіннасць»)^[3].

Першае ўвядзенне паняцця вызначальнік для мэт рашэння сістэм лінейных ураўненняў адносяць да Лейбніца (1678^[4] або 1693 год^[5]), але гэтыя работы не былі апублікаваны. Таксама вызначальнік ёсць у працах Сэкі Такакадзу 1683 года, у якіх ён абагульніў метад рашэння сістэм лінейных ураўненняў з старажытнакітайскай «Матэматыкі ў дзевяці кнігах» да ${\displaystyle n}$ ураўненняў з ${\displaystyle n}$ невядомымі^[6]. Маклорэн, фактычна выкарыстоўваючы найпрасцейшыя вызначальнікі ў трактаце, які выйшаў у 1748 годзе прыводзіць рашэнні сістэм з двух лінейных ураўненняў з дзвюма невядомымі і трох ураўненняў з трыма невядомымі^[7]. Крамер і Безу ў працах па праблеме шукання плоскай крывой, якая праходзіць праз зададзеную кропку, зноў стварылі гэтае паняцце (правіла Крамера сфармуліраванае ў 1750 годзе), Вандэрмонд і Лагранж далі індуктыўнае азначэнне для выпадкаў ${\displaystyle n>3}$^[8], а цэласнае азначэнне і канечныя ўласцівасці вызначальнікаў далі Кашы (1815) і Якобі (1840-е гады)^[2]. Гаўсу (каля 1800 года) належыць фармалізацыя метаду паслядоўнага выключэння пераменных для рашэння гэтых задач, які стаў вядомым пад яго імем^[9] (хаця па сутнасці для рашэння сістэм лінейных ураўненняў менавіта гэты метад і выкарыстоўваўся са старажытнасці^[3]).

Гл. таксама

• Аналітычная геаметрыя

Зноскі

1. Клейнер 2007, p. 79, About 4000 years ago the Babylonians knew how to solve a system of two linear equations in two unknowns (a 2 × 2 system). In their famous Nine Chapters of the Mathematical Art the Chinese solved 3 × 3 systems by working solely with their (numerical) coefficients. These were prototypes of matrix methods, not unlike the “elimination methods” introduced by Gauss and others.
2. Бурбаки 1963, с. 74.
3. Бурбаки 1963, с. 75.
4. Прасолов 1996, с. 9.
5. Клейнер 2007, p. 80.
6. Прасолов 1996, с. 10.
7. Клейнер 2007, p. 81, The first publication to contain some elementary information on determinants was Maclaurin’s Treatise of Algebra, in which they were used to solve 2 × 2 and 3 × 3 systems.
8. Даан-Дальмедико 1986, с. 394.
9. Клейнер 2007, p. 79.