Матрыца (матэматыка)

У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Матрыца.

Матрыца — табліца пэўных элементаў (найчасцей — лікаў). Матрыцы выкарыстоўваюцца для вырашэння сістэм лінейных ураўненняў і для лінейных пераўтварэнняў.

Абазначэнні

Матрыца складаецца са слупкоў і радкоў. Калі яна складаецца з ${\displaystyle n}$ радкоў і ${\displaystyle m}$ слупкоў, то кажуць, што памер матыцы роўны ${\displaystyle n*m}$. Элемент, які знаходзіцца ў i-тым радку і j-тым слупку абазначаецца ${\displaystyle a_{ij}}$ .

Матрыца, у якой колькасць радкоў ці слупкоў роўная 1, называецца вектарам.

Матрыцы называюцца роўнымі, калі іх адпаведныя элементы роўныя паміж сабой:

${\displaystyle A=B:a_{ij}=b_{ij}\,}$ .

Прыклад

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&0&-2&4\\4&10&0&1\end{bmatrix}}}$

А — матрыца памера ${\displaystyle 2*4}$. Складаецца з 2-х радкоў і 4-х слупкоў.

Аперацыі з матрыцамі

Сума

Складанне матрыц заключаецца ў складанні іх адпаведных элементаў. Каб матрыцы можна было скласці, іх памеры павінны супадаць.

${\displaystyle C=A+B:c_{ij}=a_{ij}+b{ij}}$

Памнажэнне на лік

Каб памножыць матрыцу на лік, трэба памножыць кожны яе элемент на гэты лік.

${\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$

Здабытак

Каб перамножыць 2 матрыцы, трэба каб колькасць слупкоў у першай супадала з колькасццю радкоў ў 2-ой. Здабытак будзе мець радкоў як у першай і слупкоў як ў 2-ой матрыцы. Кожны элемент здабытку вылічваецца па наступнай формуле:

Сістэмы лінейных ураўненняў

Сістэму лінейных ураўненняў

${\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}=b_{1}}$

${\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}=b_{2}}$

${\displaystyle \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots }$

${\displaystyle a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}=b_{n}}$

можна запісаць у выглядзе здабытку

${\displaystyle AX=B\,}$

Рашэнне гэтай сістэмы заключаецца ў знаходжанні адваротнай матрыцы А-1, бо калі мы памножым папярэдняе ўраўненне на гэтую матрыцу

${\displaystyle A^{-1}AX=A^{-1}B\,}$

то зможам атрымаць слупок

${\displaystyle X=A^{-1}B\,}$

Віды матрыц

• Нулявая матрыца — матрыца, ў якой усе элементы роўныя 0.
• Квадратная матрыца — матрыца, у якой колькасць радкоў і слупкоў супадае.
• Адзінкавая матрыца — матрыца, у якой усе элементы, якія знаходзяцца на асноўнай дыяганалі (аій: і=й) роўныя адзінцы, а ўсе астатнія роўныя 0.
• Выраджаная матрыца — матрыца, дэтэрмінант якой роўны 0.
• Транспанаваная матрыца — матрыца, у якой слупкі і радкі перамененыя месцамі.
• Адваротная матрыца — матрыца, памнажэнне на якую дае адзінкавую матрыцу.
• Сіметрычная матрыца — матрыца, якая супадае са сваёй транспанаванай матрыцай.
• Трохвугольная матрыца — матрыца, у якой усе элементы ніжэй (вышэй) асноўнай дыяганалі роўныя 0.

Гл. таксама

• Жарданава матрыца