Жарданава матрыца

Жарданава матрыца (нармальная жарданава форма) — адно з фундаментальных паняццяў лінейнай алгебры, якое мае вялікі лік прымяненняў у розных раздзелах матэматыкі і фізікі.

Жарданавай матрыцай называецца квадратная блокава-дыяганальная матрыца над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$, з блокамі выгляду

${\displaystyle J_{\lambda }={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\\0&\lambda &1&\cdots &0&0\\0&0&\lambda &\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &\lambda &1\\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\\end{pmatrix}},}$

пры гэтым кожны блок ${\displaystyle J_{\lambda }}$ называецца жарданавай клеткай з уласным значэннем ${\displaystyle \lambda }$ (уласныя значэнні ў розных блоках, наогул кажучы, могуць супадаць).

Згодна з тэарэмай аб жарданавай нармальнай форме, для адвольнай квадратнай матрыцы ${\displaystyle A}$ над алгебраічна замкнёным полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (напрыклад, полем камплексных лікаў ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$) існуе квадратная нявыраджаная (гэта значыць адваротная, з вызначніком, які адрозніваецца ад нуля) матрыца ${\displaystyle C}$ над ${\displaystyle \mathbb {K} }$, такая, што

${\displaystyle J=C^{-1}A\,C}$

з'яўляецца жарданавай матрыцай. Пры гэтым ${\displaystyle J}$ называецца жарданавай формай (або жарданавай нармальнай формай) матрыцы ${\displaystyle A}$. У гэтым выпадку таксама кажуць, што жарданава матрыца ${\displaystyle J}$ ў поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$ падобная (або спалучаная) дадзенай матрыцы ${\displaystyle A}$. І наадварот, у сілу эквівалентных суадносін

${\displaystyle A=CJC^{-1}}$

матрыца ${\displaystyle A}$ падобная ў поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$ матрыцы ${\displaystyle J}$. Няцяжка паказаць, што ўведзеныя такім чынам адносіны падабенства з'яўляюцца адносінамі эквівалентнасці і разбіваюць мноства ўсіх квадратных матрыц зададзенага парадку над дадзеным полем на класы эквівалентнасці, якія не перасякаюцца. Жарданава форма матрыцы вызначана не адназначна, а з дакладнасцю да парадку жарданавых клетак. Дакладней, дзве жарданавыя матрыцы падобныя над ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ў тым і толькі ў тым выпадку, калі яны складзеныя з адных і тых жа жарданавых клетак і адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі размяшчэннем гэтых клетак на галоўнай дыяганалі.

Уласцівасці

• Колькасць жарданавых клетак парадку ${\displaystyle n}$ з уласным значэннем ${\displaystyle \lambda }$ ў жарданавай форме матрыцы ${\displaystyle A}$ можна вылічыць па формуле

  ${\displaystyle c_{n}(\lambda )=\operatorname {rank} (A-\lambda I)^{n-1}-2\operatorname {rank} (A-\lambda I)^{n}+\operatorname {rank} (A-\lambda I)^{n+1},}$

дзе ${\displaystyle I}$ — адзінкавая матрыца таго ж парадку, што і ${\displaystyle A}$, сімвал ${\displaystyle \operatorname {rank} }$ пазначае ранг матрыцы, а ${\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda I)^{0}}$, па вызначэнні, роўны парадку ${\displaystyle A}$. Вышэйпрыведзеная формула вынікае з роўнасці

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda I)=\operatorname {rank} (J-\lambda I).}$

• У выпадку, калі поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$не з'яўляецца алгебраічна замкнёным, для таго каб матрыца ${\displaystyle A}$ была падобная над ${\displaystyle \mathbb {K} }$ некаторай жордановой матрыцы, неабходна і дастаткова, каб поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$ змяшчала ўсе карані характарыстычнага мнагачлена матрыцы ${\displaystyle A}$.
• У эрмітавай матрыцы ўсе жарданавы клеткі маюць памер 1.
• З'яўляецца матрыцай лінейнага аператара ў кананічным базісе.
• Жарданавы формы двух падобных матрыц супадаюць з дакладнасцю да парадку клетак.

Гісторыя

Такая форма матрыцы разглядалася адным з першых Жарданам.

Варыяцыі і абагульненні

• Над полем рэчаісных лікаў уласныя значэнні матрыцы (гэта значыць карані характарыстычнага мнагачлена) могуць быць як рэчаіснымі, так і камплекснымі, прычым камплексныя ўласныя значэння, калі яны ёсць, прысутнічаюць парамі разам са сваімі камплексна спалучанымі: ${\displaystyle \lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta }$, дзе ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — рэчаісныя лікі, ${\displaystyle \beta \neq 0}$. У рэчаіснай прасторы такой пары комплексных ўласных значэнняў адказвае блок ${\displaystyle J_{\lambda _{1,2}}}$, і да згаданага вышэй выгляду жарданавых матрыц дадаюцца матрыцы, якія змяшчаюць таксама блокі выгляду ${\displaystyle J_{\lambda _{1,2}}}$, якія адказваюць парам камплексных уласных значэнняў:^[1][2]

${\displaystyle J_{\lambda _{1,2}}=\left({\begin{array}{ccccccccccc}\alpha &\beta &1&0&0&0&\cdots &0&0&0&0\\-\beta &\alpha &0&1&0&0&\cdots &0&0&0&0\\0&0&\alpha &\beta &1&0&\cdots &0&0&0&0\\0&0&-\beta &\alpha &0&1&\ddots &0&0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&0&0&\cdots &\alpha &\beta &1&0\\0&0&0&0&0&0&\cdots &-\beta &\alpha &0&1\\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&\alpha &\beta \\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&-\beta &\alpha \\\end{array}}\right).}$

• Тэарэма аб жарданавай нармальнай форме з'яўляецца прыватным выпадкам тэарэмы аб структуры канечнаспароджаных модуляў над абласцямі галоўных ідэалаў. Сапраўды, класіфікацыя матрыц адпавядае класіфікацыі лінейных аператараў, а вектарныя прасторы над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$ з фіксаваным лінейным аператарам біектыўна адпавядаюць модулям над кальцом мнагачлена ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ (множанне вектара на ${\displaystyle x}$ задаецца як прымяненне лінейнага аператара) .
• Акрамя жарданавай нармальнай формы, разглядаюць шэраг іншых тыпаў нармальных форм матрыцы (напрыклад, фробеніўсава нармальная форма). Да іх разгляду звяртаюцца, у прыватнасці, калі асноўнае поле не змяшчае ўсіх каранёў характарыстычнага мнагачлена дадзенай матрыцы.

Зноскі

1. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
2. Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — М.: Мир, 1989 (ISBN 5-03-001042-4).