Матрыцы Паўлі

Матрыцы Паўлі — гэта набор з трох эрмітавых 2×2 матрыц, які складаюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых 2×2 матрыц з нулявым следам. Былі прапанаваны Вольфгангам Паўлі для апісання спіна электрона ў квантавай механіцы. Матрыцы маюць выгляд

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Замест ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ часам выкарыстоўваюць пазначэнне ${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}.}$

Часта таксама ўжываюць матрыцу

${\displaystyle \sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

якая супадае з адзінкавай матрыцай.

Матрыцы Паўлі разам з матрыцай ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ўтвараюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых матрыц 2×2 (а не толькі матрыц з нулявым следам).

Уласцівасці

Асноўныя суадносіны

• Эрмітавасць: ${\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i};}$
• Роўнасць нулю следу: ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \ i=1,2,3}$
• ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}=I,}$ дзе ${\displaystyle I=\sigma _{0}}$ — адзінкавая матрыца размернасці 2×2.
• Вызначнік матрыц Паўлі роўны −1.
• алгебра, народжаная элементамі ${\displaystyle \sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z}}$, ізаморфныя алгебры кватерніёнаў ${\displaystyle \langle 1,i,j,k\rangle }$.

Правілы множання матрыц Паўлі

${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\!}$ для ${\displaystyle i\neq j.\,\!}$

Гэтыя правілы множання можна перапісаць у кампактнай форме

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j,k=1,2,3}$,

дзе ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — сімвал Кронекера, а ε_ijk — сімвал Леві-Чывіты.

З гэтых правілаў множання вынікаюць камутацыйныя суадносіны

${\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}}$

Квадратныя дужкі азначаюць камутатар, фігурныя — антыкамутатар.

Сувязь з алгебрай Лі

Камутацыйныя суадносіны матрыц ${\displaystyle i\sigma _{k}\!}$ супадаюць з камутацыйнымі суадносінамі генератараў алгебры Лі su(2). І сапраўды, уся гэтая алгебра, якая складаецца з антыэрмітавых матрыц 2×2, можа быць пабудавана з адвольных лінейных камбінацый матрыц ${\displaystyle i\sigma _{k}\;.}$ Група SU(2) з алгебрай su(2) лакальна ізаморфныя групе SO(3) кручэнняў трохмернай прасторы; у прыватнасці гэтым тлумачыцца важнасць матрыц Паўлі для фізікі.

Зноскі