Медыяна (статыстыка)

Медыя́на, 50-ы перцэнтыль, квантыль 0,5 — значэнне, якое дзеліць упарадкаваную выбарку^[d] або размеркаванне імавернасцей на дзве роўныя часткі: «верхнюю» і «ніжнюю». Значэнні элементаў выбаркі (або выпадковай велічыні) з «ніжняй» палавіны будуць не большыя за медыяну, а з «верхняй» — не меншыя за медыяну.

Многавымернае абагульненне медыяны — геаметрычная медыяна^[en].

Азначэнне

Для выпадковай велічыні

Візуалізацыя моды, медыяны і матспадзявання на графіку шчыльнасці імавернасці некаторага размеркавання^[1].

Медыянай выпадковай велічыні называецца такі лік ${\displaystyle m}$, для якога выконваецца няроўнасць

${\displaystyle F(m)\leq {\frac {1}{2}}\leq F(m+0),}$

дзе ${\displaystyle F(m)}$ — функцыя размеркавання выпадковай велічыні ў пункце ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle F(m+0)}$ — яе аднабаковы ліміт^[en] справа^{[заўв 1][2]}.

Калі функцыя размеркавання непарыўная, то няроўнасць у азначэнні спрашчаецца да роўнасці ${\displaystyle F(m)=1/2.}$ Калі такая ўмова справядліва для некалькіх пунктаў ${\displaystyle m,}$ то ўсе яны ёсць медыянамі^[3].

Для выбаркі

У статыстыцы, каб вылічыць медыяну, неабходна ўпарадкаваць элементы выбаркі ад найменшага да найбольшага і выбраць значэнне пасярэдзіне (напрыклад, медыяна выбаркі {3, 3, 5, 9, 11} роўная 5). Калі колькасць элементаў у выбарцы цотная, і нельга вылучыць нейкае адно значэнне «пасярэдзіне», то медыяна, звычайна, вызначаецца як сярэдняе з двух значэнняў «пасярэдзіне»^[4] (напрыклад, медыянай выбаркі {3, 5, 7, 9} будзе (5 + 7) / 2 = 6).

Уласцівасці

• Для выпадковай велічыні ${\displaystyle X}$ з непарыўнай функцыяй размеркавання, медыяна мінімізуе абсалютны момант першага парадку ${\displaystyle \mathbb {E} [|X-c|]}$^[5].

Заўвагі

1. Такое азначэнне мае месца, калі сама функцыя размеркавання вызначана як непарыўная злева.