Праблемы Гільберта

Праблемы Гільберта — спіс з 23 кардынальных праблем матэматыкі, прадстаўлены Давідам Гільбертам на II Міжнародным Кангрэсе матэматыкаў у Парыжы ў 1900 годзе. Тады гэтыя праблемы (якія ахопліваюць асновы матэматыкі, алгебру, тэорыю лікаў, геаметрыю, тапалогію, алгебраічную геаметрыю, групы Лі, рэчаісны і камплексны аналіз, дыферэнцыяльныя ўраўненні, матэматычную фізіку і тэорыю імавернасцей, а таксама варыяцыйнае злічэнне) не былі рэшаны. На сёння вырашана 16 праблем з 23. Яшчэ 2 не з'яўляюцца карэктнымі матэматычнымі праблемамі (адна сфармулявана занадта расплыўчата, каб зразумець, вырашана яна ці не; другая, далёкая ад рашэння, — фізічная, а не матэматычная). З астатніх 5 праблем дзве не вырашаныя ніяк, а тры вырашаныя толькі для некаторых выпадкаў.

Спіс праблем

№	Кароткая фармулёўка	Статус	Вынік	Год рашэння
1-я	Праблема Кантара аб магутнасці кантынуума (Кантынуум-гіпотэза)	рэшана[1]	Невырашальная ў ZFC	1963
2-я	Несупярэчлівасць аксіём арыфметыкі.	няма кансэнсуса[2]	Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі
3-я	Роўнасастаўленасць роўнавялікіх мнагаграннікаў	рэшана	Абвергнута	1900
4-я	Пералічыць метрыкі, у якіх прамыя з'яўляюцца геадэзічнымі лініямі	вельмі расплыўчатая[3]	Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі
5-я	Ці ўсе непарыўныя групы з'яўляюцца групамі Лі?	рэшана	Так	1953
6-я	Матэматычная апрацоўка аксіём фізікі	часткова рэшана (у залежнасці ад інтэрпрэтацыі зыходнай пастаноўкі праблемы)[4]
7-я	Ці з'яўляецца лік ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ трансцэндэнтным (ці хаця б ірацыянальным)?[5]	рэшана	Так	1935
8-я	Праблема простых лікаў (гіпотэза Рымана і праблема Гольдбаха)	часткова рэшана[6]	Даказана тэрнарная гіпотэза Гольдбаха[7][8][9][10].
9-я	Доказ найбольш агульнага закона ўзаемнасці ў любым лікавым полі	часткова рэшана[11]	Даказана для абелевага выпадку
10-я	Ці ёсць універсальны алгарытм рашэння дыяфантавых ураўненняў?	рэшана[12]	Няма	1970
11-я	Даследаванне квадратычных форм з адвольнымі алгебраічнымі лікавымі каэфіцыентамі	часткова рэшана
12-я	Распаўсюджанне тэарэмы Кронекера аб абелевых палях на адвольную алгебраічную вобласць рацыянальнасці	не рэшана
13-я	Ці можна рашыць агульнае ўраўненне сёмай ступені з дапамогай функцый, якія залежаць толькі ад дзвюх зменных?	рэшана	Так	1957
14-я	Доказ канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў лінейнай алгебраічнай групы[13]	рэшана	Абвергнута	1959
15-я	Строгае абгрунтаванне пералічальнай геаметрыі Шуберта	часткова рэшана
16-я	Тапалогія алгебраічных крывых і паверхняў[14]	часткова рэшана[15]
17-я	Ці можна прадставіць вызначаныя формы ў выглядзе сумы квадратаў	рэшана	Так	1927
18-я	Ці канечны лік крышталеграфічных груп? Ці існуюць нерэгулярныя запаўненні прасторы кангруэнтнымі мнагаграннікамі? Ці з'яўляюцца гексаганальная і кубічная гранецэнтраваная ўпакоўкі шароў найбольш шчыльнымі?	рэшана[16][17]	Так Так Так	? 1928 1998
19-я	Ці заўсёды рашэнні рэгулярнай варыяцыйнай задачы Лагранжа з'яўляюцца аналітычнымі?	рэшана	Так	1957
20-я	Ці ўсе варыяцыйныя задачы з вызначанымі межавымі ўмовамі маюць рашэнні?	рэшана	Так	?
21-я	Доказ існавання лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў з зададзенай групай монадраміі	рэшана	У залежнасці ад удакладнення фармулёўкі: ёсць / няма	?
22-я	Уніфармізацыя аналітычных залежнасцей з дапамогай аўтаморфных функцый	рэшана		?
23-я	Развіццё метадаў варыяцыйнага злічэння	не рэшана

24-я праблема

Асноўны артыкул: 24-я праблема Гільберта^be_en

Першапачаткова спіс утрымліваў 24 праблемы, але ў працэсе падрыхтоўкі к дакладу Гільберт адмовіўся ад адной з іх. Гэтая праблема была звязана з тэорыяй доказаў крытэрыя прастаты і агульных метадаў. Дадзеная праблема была знойдзена ў заметках Гільберта нямецкім гісторыкам навукі Рудыгерам Ціле ў 2000 годзе^[18].

Гл. таксама

• Праблемы Смэйла
• Праблемы тысячагоддзя
• Адкрытыя матэматычныя праблемы