Транспанаваная матрыца

Транспанава́ная ма́трыца^[1] — матрыца ${\displaystyle A^{T}}$, атрыманая з зыходнай матрыцы ${\displaystyle A}$ заменай радкоў на слупкі.

Фармальна, транспанаваная матрыца для матрыцы ${\displaystyle A}$ памераў ${\displaystyle m\times n}$ — матрыца ${\displaystyle A^{T}}$ памераў ${\displaystyle n\times m}$, вызначаная як AA^T[i, j] = A[j, i].

Напрыклад,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$      таксама      ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}$

Колькасць радкоў транспанаванай матрыцы роўная колькасці слупкоў зыходнай і наадварот^[1][2].

Уласцівасці транспанаванай матрыцы

• ${\displaystyle ~(A^{T})^{T}=A}$

Двойчы транспанаваная матрыца А роўная зыходнай матрыцы А.

• ${\displaystyle ~(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$

Транспанаваная сума матрыц роўная суме транспанаваных матрыц.

• ${\displaystyle ~(AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$

Транспанаваны здабытак матрыц роўны здабытку транспанаваных матрыц, узятых у зваротным парадку.

• ${\displaystyle ~(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}$

Пры транспанаванні можна выносіць скаляр.

• ${\displaystyle ~\det A=\det A^{T}}$

Вызначнік транспанаванай матрыцы роўны вызначніку зыходнай матрыцы.

Звязаныя вызначэнні

Сіметрычная матрыца — матрыца, якая задавальняе суадносінам ${\displaystyle A^{T}=A}$. Для таго, каб матрыца А была сіметрычнай, неабходна і дастаткова, каб:

• матрыца А была квадратнай,
• элементы, сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі, былі роўныя.

Антысіметрычная (косасіметрычная) матрыца — матрыца, якая задавальняе суадносінам ${\displaystyle A^{T}=-A}$. Для таго, каб матрыца А была антысіметрычнай, неабходна і дастаткова, каб:

• матрыца А была квадратнай,
• элементы, сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі, былі роўныя па модулі і розныя па знаку,

Адсюль вынікае, што элементы галоўнай дыяганалі такой матрыцы (могуць) раўняюцца нулю.