Умоўнае матэматычнае спадзяванне

Умоўнае матэматычнае спадзяванне — матэматычнае спадзяванне выпадковай велічыні, вылічанае адносна ўмоўнага размеркавання імавернасцей.

Азначэнне

Адносна падзеі

Умоўным матэматычным спадзяваннем велічыні ${\displaystyle X}$ адносна падзеі ${\displaystyle A}$ завецца інтэграл

${\displaystyle \mathbb {E} [X|A]=\int _{\mathbb {R} }xdF_{X}(x|A),}$

дзе ${\displaystyle F_{X}(x|A)}$ — умоўная функцыя размеркавання^[1].

Калі выпадковая велічыня ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ зададзена на імавернаснай прасторы ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$, то ўмоўнае матэматычнае спадзяванне можна запісаць як^[2]

${\displaystyle \mathbb {E} [X|A]={\frac {1}{P(A)}}\int _{A}X(\omega )dP(\omega ).}$

Прыклады

Падкіданне кубіка

Разгледзім падкіданне кубіка і няхай велічыня ${\displaystyle A=1}$, калі выпаў цотны лік (то бок 2, 4 ці 6), інакш ${\displaystyle A=0}$. Акрамя таго, няхай ${\displaystyle B=1,}$ калі выпаў лік просты (2, 3 ці 5), інакш ${\displaystyle B=0.}$

	1	2	3	4	5	6
${\displaystyle A}$	0	1	0	1	0	1
${\displaystyle B}$	0	1	1	0	1	0

Матэматычнае спадзяванне ${\displaystyle A}$ роўнае ${\displaystyle E[A]=(0+1+0+1+0+1)/6=1/2}$, але ўмоўнае спадзяванне ${\displaystyle A}$ пры ${\displaystyle B=1}$ (то бок пры ўмове, што значэнне на кубіку простае) складае ${\displaystyle E[A\mid B=1]=(1+0+0)/3=1/3}$, а спадзяванне ${\displaystyle A}$ пры ўмове ${\displaystyle B=0}$ (лік складаны) роўнае ${\displaystyle E[A\mid B=0]=(0+1+1)/3=2/3}$. Гэтак жа спадзяванне ${\displaystyle B}$ пры ўмове ${\displaystyle A=1}$ роўнае ${\displaystyle E[B\mid A=1]=(1+0+0)/3=1/3}$, а спадзяванне ${\displaystyle B}$ пры ўмове ${\displaystyle A=0}$ — ${\displaystyle E[B\mid A=0]=(0+1+1)/3=2/3}$.

Гл. таксама

• Формула поўнага матэматычнага спадзявання