Матэматычнае спадзяванне

Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца ${\displaystyle M[X]}$ або ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$. Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні ${\displaystyle X}$ і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні ${\displaystyle X}$ пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў набліжаецца да ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$.

Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n}}$, з імавернасцямі ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$, дзе ${\displaystyle p_{1}+p_{2}+\dots +p_{n}=1}$, то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=X_{1}p_{1}+X_{2}p_{2}+\dots +X_{n}p_{n}}$ (адсюль назва).

Матэматычнае спадзяванне — тое самае, што і першы пачатковы момант выпадковай велічыні.

Азначэнне

Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега

Няхай зададзена прастора імавернасцей ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ і азначаная на ёй выпадковая велічыня ${\displaystyle X}$. То бок, паводле азначэння, ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад ${\displaystyle X}$ па прасторы ${\displaystyle \Omega }$, то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца ${\displaystyle M[X]}$ або ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,dP(\omega ).}$

Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны ${\displaystyle \pm \infty }$, кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзявання^[1]:111.

Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні

Калі ${\displaystyle F_{X}(x)}$ — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стыльт’еса^[1]:112:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x)}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання)

Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю ${\displaystyle f_{X}(x)}$, роўнае^[1]:112

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx}$.

Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні

Калі ${\displaystyle X}$ — дыскрэтная выпадковая велічыня, з размеркаваннем

${\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i}}$ , ${\displaystyle \sum \limits _{i}p_{i}=1}$,

тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што^[1]:112

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i}x_{i}\,p_{i}}$.

Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні

• Калі ${\displaystyle X}$ — дадатная цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасцей

${\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p_{j}}$ , ${\displaystyle j=0,1,\dotsc }$, ${\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1}$,

то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз утваральную функцыю паслядоўнасці ${\displaystyle \{p_{i}\}}$

${\displaystyle P(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;p_{k}s^{k}}$

Уласцівасці матэматычнага спадзявання

• Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.

${\displaystyle \mathbb {E} [a]=a}$

${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ — канстанта;

• Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок

${\displaystyle \mathbb {E} [aX+bY]=a\mathbb {E} [X]+b\mathbb {E} [Y]}$,

дзе ${\displaystyle X,Y}$ — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ — любыя канстанты;

У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.

• Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі ${\displaystyle 0\leqslant X\leqslant Y}$ амаль напэўна, і ${\displaystyle Y}$ — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні ${\displaystyle X}$ таксама канечнае, і больш за тое:

${\displaystyle 0\leqslant \mathbb {E} [X]\leqslant \mathbb {E} [Y]}$.

• Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі ${\displaystyle X=Y}$ амаль напэўна, то

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [Y]}$.

• Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэляваных выпадковых велічынь ${\displaystyle X,Y}$ роўнае здабытку іх матспадзяванняў

${\displaystyle \mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]}$.

• Для ўсякай барэлеўскай^[en] і інтэгравальнай па меры ${\displaystyle dF_{X}}$ функцыі^{[заўв 1]} ${\displaystyle \varphi :X(\Omega )\to \mathbb {R} }$ матэматычнае спадзяванне ${\displaystyle \varphi (X)}$ існуе і роўнае^[1]:113

${\displaystyle \mathbb {E} [\varphi (X)]=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)dF_{X}(x).}$

Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем

Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$, азначанай на прасторы імавернасцей ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ з канечным матспадзяваннем ${\displaystyle \mathbb {E} (X)}$, справядліва няроўнасць:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (X)}{a}}}$, дзе ${\displaystyle a>0}$.

Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — прастора імавернасцей, ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ — азначаная на ёй выпадковая велічыня, ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што ${\displaystyle X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, тады

${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} (X))\leqslant \mathbb {E} (\varphi (X))}$.

Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем

• Тэарэма Леві пра манатонную збежнасць
• Тэарэма Лебега пра мажажыруемую збегнасць

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.