Праектыўная прастора

Праекты́ўная прасто́ра над полем K — прастора, якая складаецца з прамых (аднамерных падпрастор) некаторай лінейнай прасторы L(K) над гэтым полем. Прамыя прасторы L(K) называюцца пунктамі праектыўнай прасторы. Гэта азначэнне можна абагульніць на адвольнае цела K.

У перспектыве, лініі, паралельныя на плоскасці, перасякаюцца ў пункце збегу  (англ.) на гарызонце.

Калі L мае размернасць n+1, то размернасцю праектыўнай прасторы называецца лік n, а сама праектыўная прастора абазначаецца KPⁿ і называецца асацыяванаю з L (каб гэта пазначыць, прынята абазначэнне P(L)).

Пераход ад вектарнай прасторы L(K) размернасці n+1 да адпаведнай праектыўнай прасторы KPⁿ называецца праектывізацыяй прасторы L(K).

Пункты KPⁿ можна апісаць з дапамогаю аднародных каардынат  (руск.).

Аксіяматычнае азначэнне

Праектыўная прастора можа таксама вызначацца сістэмаю аксіём тыпу гільбертавай  (руск.). У гэтым выпадку праектыўная прастора вызначаецца як сістэма, якая складаецца з мноства пунктаў P, мноства прамых L і дачынення інцыдэнтнасці I, якое звычайна выражаецца словамі «пункт ляжыць на прамой» ці «прамая праходзіць праз пункт», і задавальняе наступныя аксіёмы:

• Для любых двух розных пунктаў існуе адзіная прамая, інцыдэнтная абодвум пунктам; (праз любыя два пункты праходзіць толькі адна прамая)
• Кожная прамая інцыдэнтная не менш чым тром пунктам; (на кожнай прамой ляжыць не менш чым тры пункты)
• Калі прамыя L і M перасякаюцца (маюць агульны інцыдэнтны пункт), пункты p і q ляжаць на прамой L, а пункты s і r — на прамой M, то прамыя ps і qr перасякаюцца.

Падпрастораю праектыўнай прасторы называецца падмноства T мноства P, такое што для любых ${\displaystyle p,q\in P}$ з гэтага падмноства ўсе пункты прамой pq належаць T. Размернасцю праектыўнай прасторы P называецца найбольшы лік n, такі што існуе строга нарастаючы ланцуг  (руск.) падпрастор віду

${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.}$

Заўвага: усе сцвярджэнні можна лёгка сфармуляваць з дапамогаю паняцця прыналежнасці, не ўводзячы паняцця інцыдэнтнасці. Аднак паняцце інцыдэнтнасці дазваляе фармуляваць сцвярджэнні ў форме, сіметрычнай адносна паняццяў "пункт" і "прамая". І ў некаторых выпадках гэта аказваецца даволі зручным.

Класіфікацыя

• Размернасць 0: прастора складаецца з аднаго пункта.
• Размернасць 1: адвольнае непустое мноства пунктаў і адзіная прамая, на якой ляжаць усе гэтыя пункты.
• Размернасць 2 (праектыўная плоскасць  (руск.)): у гэтым выпадку класіфікацыя больш складаная. Усе плоскасці віду ${\displaystyle KP^{n}}$ для некаторага цела ${\displaystyle K}$ задавальняюць аксіёму Дэзарга  (руск.), аднак існуюць такія недэзаргавы плоскасці  (англ.).
• Большыя размернасці: згодна з тэарэмаю Веблена — Юнга  (англ.)^[1], любая праектыўная прастора размернасці больш чым два можа быць атрымана як праектывізацыя модуля  (руск.) над некаторым целам.

Звязаныя азначэнні і ўласцівасці

• Няхай ${\displaystyle M}$ — гіперплоскасць у лінейнай прасторы ${\displaystyle L}$. Праектыўная прастора ${\displaystyle P(M)\subset P(L)}$ называецца праектыўнаю гіперплоскасцю ў ${\displaystyle P(L)}$.
• На дапаўненні праектыўнай гіперплоскасці ${\displaystyle A=P(L)\backslash P(M)}$ існуе натуральная структура афіннай прасторы  (руск.).
• Наадварот, узяўшы за аснову афінную прастору ${\displaystyle A}$ можна атрымаць праектыўную прастору як афінную, да якой дабаўлены т. зв. бесканечна аддаленыя пункты. Першапачаткова праектыўная прастора і была ўведзена такім чынам.

Таўталагічнае расслаенне

Таўталагічным расслаеннем ${\displaystyle \gamma ^{n}:E\to \mathbb {R} P^{n}}$ называецца вектарнае расслаенне  (руск.), прастораю расслаення якога з'яўляецца падмноства прамога здабытку ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}}$

${\displaystyle E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm \;x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \}}.}$

а слоем — рэчаісная прамая ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Кананічная праекцыя ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ адлюстроўвае прамую, якая праходзіць праз пункты ${\displaystyle \pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}}$, у адпаведны пункт праектыўнай прасторы. Пры ${\displaystyle n\geq 1}$ гэта расслаенне не з'яўляецца трывіяльным. Пры ${\displaystyle n=1}$ прастораю расслаення з'яўляецца стужка Мёбіуса.