Граница (математика)

Граница в математиката е стойността, до която дадена функция или числова редица се доближава, когато аргументът се доближава до някаква стойност.^[1] Границите са важна част от математическия анализ и се използват за определяне на непрекъснатост, производни и интеграли.

Вижте пояснителната страница за други значения на Граница.

---

Формулата за граница на функция обикновено се записва по следния начин:

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$,

и се чете: границата на f от x, когато x се доближава до c, е равна на L. Фактът, че функцията f се доближава до лимита L, когато x се доближава до c, понякога се записва със стрелка, например:

${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to c.}$

Граница на функция

 Основна статия: Граница на функция

Винаги, когато точка x е в δ от c, f(x) е в ε единици от L.		За всяко x > S, f(x) е в ε на L.

Нека ${\displaystyle f}$ да е реална функция, а ${\displaystyle c}$ – реално число. Интуитивно, записът

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

означава, че ${\displaystyle f(x)}$ може да бъде много близо до ${\displaystyle L}$, като доближим ${\displaystyle x}$ достатъчно близо до ${\displaystyle c}$. В този случай, по-горното уравнение се чете по следния начин: „границата на ${\displaystyle f}$от ${\displaystyle x}$, когато ${\displaystyle x}$ клони към ${\displaystyle c}$, е ${\displaystyle L}$“.

През 1821 г. Огюстен Луи Коши, следван от Карл Вайерщрас, формализира дефиницията на границата на функция, която става известна като (ε, δ)-дефиниция на граница. Дефиницията използва ε (малка буква епсилон в гръцката азбука), за да обозначи кое да е малко положително число, така че „${\displaystyle f(x)}$да се доближи до ${\displaystyle L}$“ да означава, че ${\displaystyle f(x)}$лежи в интервала ${\displaystyle (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$, което може да се запише и със знака за абсолютна стойност – ${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$^[2]. Тогава изказът „когато ${\displaystyle x}$ клони към ${\displaystyle c}$“ индикира, че се отнасяме към стойностите на ${\displaystyle x}$, чието разстояние от ${\displaystyle c}$ е по-малко от някое положително число δ (малка буква делта от гръцката азбука), т.е. стойностите на ${\displaystyle x}$ при ${\displaystyle (c-\delta ,c)}$ или ${\displaystyle (c,c+\delta )}$, може да се изрази с ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$. Първото неравенство означава, че разстоянието между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle c}$ е по-голямо от ${\displaystyle 0}$ и, че ${\displaystyle x\neq c}$, а следващото неравенство показва, че ${\displaystyle x}$ е на разстояние ${\displaystyle \delta }$ от ${\displaystyle c}$.

Горната дефиниция на лимита е вярна, дори ако ${\displaystyle f(c)\neq L}$. Функцията ${\displaystyle f}$ не е необходимо да бъде дефинирана при ${\displaystyle c}$.

Например, ако

${\displaystyle f(x)={x^{2}-1 \over x-1}}$

то тогава ${\displaystyle f(1)}$ не е дефинирана (виж делене на нула), но когато ${\displaystyle x}$ се доближава до 1, ${\displaystyle f(x)}$ се доближава до 2:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	⇒ недефинирана ⇐	2.001	2.010	2.100

Функцията sinx/x

Граница се въвежда и ако директното пресмятане на стойността на функция в разглеждана точка води до неопределеност от типа 0/0. Например директното пресмятяне на стойността на функцията

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$

за ${\displaystyle x=0}$ води до резултат 0/0, който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата функция за стойности на ${\displaystyle x}$, близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}f(x)=1}$.

Функцията tg x

Лява и дясна граница на функция

В много случаи независимата променлива х клони към х₀ чрез растящи редици от стойности, т.е. отляво, или чрез намаляващи редици от стойности, т.е. отдясно. Получените граници в тези случаи се наричат лява и дясна граница на функцията в зависимост от това дали аргументът остава съответно по-малък, или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се със:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}-}f(x)}$ за лява граница и

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}+}f(x)}$ за дясна граница.

Лява и дясна граница се определят в случаите, когато тези две стойности са различни – тогава функцията е прекъсната в дадената точка. Например лявата и дясната граница на функцията ${\displaystyle tgx}$ при ${\displaystyle x}$, клонящо към ${\displaystyle 90^{\circ }}$, са съответно ${\displaystyle +\infty$ ;-\infty } .

Неистинска граница на функция

Казва се, че функцията ${\displaystyle f(x)}$ има неистинска граница ${\displaystyle +\infty }$ или ${\displaystyle -\infty }$, ако за всяко произволно голямо число ${\displaystyle C>0}$ съществува такова число ${\displaystyle \delta (''C'')>0}$, че за всички ${\displaystyle x}$, за които ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$, е изпълнено неравенството ${\displaystyle f(x)>C}$, съответно f(x) < -C${\displaystyle f(x)<-C}$. Означава се:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)=+\infty$ ;} , ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)=-\infty }$.

Поведение на функциите в безкрайността

Поведението на дадена функция ${\displaystyle f(x)}$за много големи положителни и много малки отрицателни стойности на аргумента ${\displaystyle x}$ се определя със следните дефиниции:

Казва се, че

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=A,}$ и съответно ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=A,}$

ако за произволно отнапред дадено ${\displaystyle \epsilon >0}$съществува такова достатъчно голямо ${\displaystyle x_{0}>0}$, че ${\displaystyle |f(x)-A|<\epsilon }$ за всички ${\displaystyle x>x_{0}}$ или съответно за всички ${\displaystyle x<-x_{0}}$.

Основни теореми

Границите на съставни функции могат да се изчисляват въз основа на няколко теореми, свързващи границите на съставната функция с границите на съставляващите я функции. Така ако функциите ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ имат граница при ${\displaystyle x\to a}$, то:

Теорема 1: ${\displaystyle \lim _{x\to a}\left[f(x)\pm g(x)\right]=\lim _{x\to a}f(x)\pm \lim _{x\to a}g(x)}$

Теорема 2: ${\displaystyle \lim _{x\to a}\left[f(x)\ .g(x)\right]=\lim _{x\to a}f(x)\ .\lim _{x\to a}g(x)}$

Теорема 3: ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)}}}$ където ${\displaystyle g(x)\neq 0}$.

Следствие 1: ${\displaystyle \lim _{x\to a}\left[k\ .f(x)\right]=k\ .\lim _{x\to a}f(x)}$, където ${\displaystyle k}$ е константа.

Следствие 2: ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\left[f(x)\right]}^{n}={\left[\lim _{x\to a}f(x)\right]}^{n}}$, където ${\displaystyle n}$ е цяло положително число

При тези изчисления границите на съставната функция могат да бъдат неопределени, при което са възможни няколко вида неопределеност (недефинирано аритметично действие):

• Неопределеност от вида ${\displaystyle \ {\frac {0}{0}}\ }$: Тя се получава от Теорема 3, ако ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0}$.
• Неопределеност от вида ${\displaystyle \ {\frac {\infty }{\infty }}\ }$: Тя се получава от Теорема 3, ако ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty }$ и ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\infty }$.
• Неопределеност от вида ${\displaystyle \ \infty -\infty \ }$: Тя се получава от Теорема 1, ако ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=+\infty }$ и ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=+\infty }$, то: ${\displaystyle \lim _{x\to a}\left[f(x)+g(x)\right]=+\infty }$, но ${\displaystyle \lim _{x\to a}\left[f(x)-g(x)\right]}$ може както да съществува, така и да не съществува.
• Неопределеност от вида ${\displaystyle 0\ .\infty }$: Тя се получава от Теорема 2, ако ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\infty }$

Граница на числова редица

Граница на дадена числова редица ${\displaystyle (a_{n})}$ е число ${\displaystyle l}$ точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число ${\displaystyle \epsilon >0}$ може да се намери такова число N(ε), че всички членове а_n на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l – ε, l + ε), т.е. да е изпълнено |a_n – l| < ε за всички n > N(ε).

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=l.}$

С формализма на математическата логика това се записва по следния начин:

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \,:\,\forall n>N(\epsilon ),\|a_{n}-l\|<\epsilon .}$

Еквивалентно, но по-интуитивно определение е следното: Дадено число ${\displaystyle l}$ е граница на числовата редица ${\displaystyle (a_{n})}$, ако всяка околност („всяка околност“ е интервалът ${\displaystyle (l-\epsilon ,l+\epsilon )}$ за произволно ${\displaystyle \epsilon >0}$) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Например границата на редицата

${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},...,{\frac {1}{n}},...}$

при n, клонящо към безкрайност (бележи се n → ∞), е 0, тъй като колкото повече n расте, толкова повече ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ намалява (и все повече се доближава до 0).

Редицата ${\displaystyle 1,-1,1,...,(-1)^{n-1},...}$ няма граница, понеже има две точки на сгъстяване: -1 и +1. За нито една от тези точки не е изпълнено условието „Всяка околност съдържа всички членове на редицата освен някакъв краен брой“, понеже съществуват две точки, всяка околност на които съдържа безкраен брой членове на редицата: -1 и 1. Редицата е ограничена и отгоре, и отдолу, т.е. съгласно теоремата на Болцано – Вайерщрас съществуват две числови редици: а_{2n} (всички четни членове на редицата) и а_{2n+1} (всички нечетни членове на редицата), които са сходящи: границите им са съответно +1 и -1.

Свойства на границите на редици

• Ако редиците (a_n), (b_n) и (c_n) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }b_{n}.}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}-\lim _{n\to \infty }b_{n}.}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}.b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}.\lim _{n\to \infty }b_{n}.}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }a_{n}}{\lim _{n\to \infty }b_{n}}}.}$

за b_n ≠ 0 и ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$ ≠ 0.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$ за c = const.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(c_{1}a_{n}+c_{2}b_{n})=c_{1}\lim _{n\to \infty }a_{n}+c_{2}\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

при с₁ = const, c₂ = const.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\log _{b}a_{n}=log_{b}a}$ при b > 0, a > 0, b ≠ 1.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{a_{n}}^{p}=a^{p}}$ при а > 0 и произволно р.

Основни теореми за граници на редици

• Всяка сходяща числова редица е ограничена, но не всяка ограничена числова редица е сходяща.
• Границата на всяка сходяща числова редица е еднозначно определена. Тя не може да има две различни граници.
• Ако за всички членове на сходящата редица (а_n) при ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ са изпълнени неравенствата ${\displaystyle A\leq a_{n}\leq B,}$ то тези неравенства са изпълнени и за границата а на редицата: ${\displaystyle A\leq a\leq B.}$
• Ако ${\displaystyle a_{n},b_{n},c_{n}}$ са три сходящи редици, такива че ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=d}$ и ${\displaystyle a_{h}\leq b_{h}\leq c_{h}}$${\displaystyle \forall h}$, то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=d}$.

Вижте също

• Функция
• Математически анализ
• Сходимост
• Редица на Коши
• Граница на функция