Изолирана точка

В топологията елемент ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {X}}}$ в топологично пространство ${\displaystyle ({\mathcal {X}},T)}$ се нарича изолирана точка на ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ако съществува отворено множество ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{a}\in T:{\mathcal {O}}_{a}\cap {\mathcal {X}}=\{a\}}$. От дефиницията следва непосредствено, че един елемент е изолирана точка тогава и само тогава, когато не е точка на сгъстяване.

"0" is an isolated point of A

В едно метрическо пространство ${\displaystyle ({\mathcal {X}},d)}$ точката ${\displaystyle a\,}$ се нарича изолирана, ако съществува ${\displaystyle \varepsilon }$-околоност ${\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x|x\in {\mathcal {X}};d(x,a)<\varepsilon \}}$ на ${\displaystyle a\,}$${\displaystyle }$, за която ${\displaystyle A_{\varepsilon }\cap {\mathcal {X}}=\{a\}}$.

Примери

1. В множеството ${\displaystyle A=\{0\}\cup [1,2]}$ числото 0 е изолирана точка.
2. В множеството ${\displaystyle A=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\dots \}}$ всеки елемент ${\displaystyle 1/n}$ е изолирана точка, с изключение на нулата.
3. В множеството на естествените числа ${\displaystyle N=\{0,1,2,\dots \}}$ всички точки са изолирани.

(В примери 1.-3. се подразбира, че е избрана евклидовата метрика.)

Тази статия за математически обект все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.