Средностепенна стойност

From Wikipedia, the free encyclopedia

Средностепенна стойност
Remove ads

Средностепенна стойност (СС) или средностепенно е вид средна стойност на набор от числа в математиката, която се получава чрез повдигане на всички числа на степен , намиране на средноаритметичната стойност на тези -ти степени и взимане на -ия корен от тази средна стойност. Тя обобщава средните стойности, известни от питагорейците като архимедови средни: аритметична, геометрична, квадратична и хармонична, чрез въвеждане на параметъра . Затова в чуждоезичната литература се нарича още средно обобщено и генерализирано средно. Във връзка с неравенствата на Хьолдер и Минковски средностепенното също има имената средно на Хьолдер (Ото Хьолдер, 1859 – 1937) и средно на Минковски (Херман Минковски, 1864 – 1909).

Обозначава се с различни символи: и др.

Средностепенното е частен случай на средното квазиаритметично, известно още като „средно на Колмогоров“ (на руски: среднее Колмогорова).

Разновидност на средностепенното е претегленото средностепенно.

Thumb
Графика на няколко средностепенни
Remove ads

Определение

Ако е набор от положителни реални числа и е ненулево реално число, тогава средностепенната стойност с показател на набора от числа е: [1][2]

Ако числата от набора са умножени с поредица от положителни тегла , се дефинира понятието средностепенно претеглено:

Remove ads

Частни случаи

Thumb
Визуално изображение на някои от посочените случаи за n = 2 с
x1 = a = C и x2 = b = C−∞:
  средно хармонично, H = C−1(a, b),
  средно геометрично, G = C0(a, b)
  средно аритметично, A = C1(a, b)
  средно квадратично, Q = C2(a, b)


Средностепенните стойности за и имат свои собствени имена: [3]

  • се нарича средно аритметично;

(с други думи: средноаритметичното на числа е тяхната сума, разделена на )

  • е средно геометрично;

(с други думи: средното геометрично на числа е -ия корен от произведението на тези числа)

  • се нарича средно хармонично.

(с други думи: средната хармонична стойност на числата е реципрочната на средната аритметична на техните реципрочни стойности)

  • се нарича средноквадратично, известно също със съкращението RMS (на английски: Root mean square).

В статистическата практика се използват и средностепенни от трети и по-високи редове. Най-често срещаните от тях са средните кубични и средните биквадратични стойности:

  • се нарича среднокубично
  • се нарича среднобиквадратично

Минималното и максималното число от набор от положителни числа се изразяват като средните степени и на тези числа:

Remove ads

Свойства

За редицата от положителни реални числа са валидни следните свойства: [4]

  • Всяко средностепенно винаги се намира между най-малката и най-голямата стойност на :
.
  • Всяка средностепенна стойност е симетрична функция на своите аргументи; пермутирането на аргументите на средностепенното не променя неговата стойност:
, където е пермутационен оператор.
  • Като повечето средства, средностепенната стойност е хомогенна функция на своите аргументи . Тоест, ако е положително реално число, тогава средностепенна стойност с показател на числата е равна на пъти средностепенното на числата :
  • Подобно на квазиаритметичните средни стойности, изчисляването на средностепенната стойност може да бъде разделено на изчисления на еднакви по размер подблокове. Това позволява използването на алгоритъмразделяй и владей“ за изчисляване на средните стойности, когато е желателно:

.

Thumb
Геометрично доказателство без думи, че при а=MN и b=MP:
max(a,b) > средно квадратично (QM) > средно аритметично (AM) >
средно геометрично (GM) >
средно хармонично (HM) > min(a,b) за две различни положителни числа a и b [5][6]

Обобщено неравенство на средните

Като цяло, ако , тогава

и двете средни са равни тогава и само тогава ако x1=x2=...=xn.

Неравенството е вярно за реални стойности на и , както и за положителни и отрицателни стойности за безкрайност. То следва от факта, че за всички реални ,

което може да се докаже с помощта на неравенството на Йенсен.

По-специално, за в {−1, 0, 1}, средностепенното предполага неравенството на Питагоровите средни (на украински: Піфагорові середні), както и неравенството на средните аритметични и геометрични:

, , или
Remove ads

Източници и бележки

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads