Eкстремум
най-голяма и най-малка стойност From Wikipedia, the free encyclopedia
Remove ads
Eкстремум (от латински: extremum – „краен“) в математиката е максималната или минималната стойност на функцията в дадено множество. Тази точка може да е бъде както локален екстремум, така и глобален екстремум.

Определение
Ако е дадена функцията , за която , тогава:
- се нарича точка на локален максимум на функцията ако съществува прекъсната част такава, че
- се нарича точка на локален минимум на функцията ако съществува прекъсната част такава, че
Remove ads
Определение за локален екстремум
Ако дефиниционното множество на една функция е интервал, обикновено той може да се раздели на подинтервали, във всеки от който функцията е растяща или намаляваща. Сега да разгледаме поведението на функцията в точка, разделяща два съседни интервала, в които тя от растяща става намаляваща и обратното. В първия подинтервал на снимката функцията намалява, в следващия расте и т.н. Точките, където функцията от растяща става намаляваща и обратното са екстремуми. В достатъчно малка околност на тези точки няма други стойности на функцията, които да са съответно по-малки (по-големи, в когато става въпрос за максимум, а не за минимум) от стойността на функцията в тази точка.
Remove ads
Локален минимум
Функцията има локален минимум в точка от дефиниционната си област, когато може да се намери достатъчно малка околност , с от дефиниционната област на , в която няма стойноси на , по-малки от , т.е. за принадлежащо на , с .
Локален максимум
Функцията има локален максимум в точка от дефиниционната си област, когато може да се намери достатъчно малка околност , с от дефиниционната област на , в която няма стойности на , по-големи от , т.е. за принадлежащо на , с .
Remove ads
Необходимо условие за локален екстремум
Ако функцията има екстремум в дадена точка и е диференцируема в тази точка, първата ѝ производна в тази точка е равна на нула.
Достатъчно условие за локален екстремум
Ако функцията е два пъти диференцируема в околност на точката , при което , а е различно от , като е непрекъсната в тази точка, функцията има екстремум в точката x = x0 – минимум, когато и максимум, когато .
Remove ads
Източници
- Учебник по математика за 12 клас, профилирана подготовка, издателство „Просвета“
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads