Таблични интеграли

Интегрирането е едно от двете основни действия в математическия анализ. Докато при диференцирането има лесни правила за намиране на производни на сложни функции чрез диференциране поотделно на простите компоненти на функцията, то при интегрирането не е така и се налага честото използване на вече решени и познати интеграли, които се наричат таблични интеграли. Тъждествата, поместени в тази статия, могат, без допълнителни доказателства, да се използват при решаването на задачи.

Правила при интегриране

Ако една функция е интегригуема, в сила са съответните правила:

${\displaystyle \int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx+C\qquad {\mbox{(}}a\neq 0{\mbox{, const)}}\,\!}$

${\displaystyle \int \sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int f_{i}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}a_{i}F_{i}(x)}$

${\displaystyle {d \over dx}\int f(x)\,dx=f(x)}$

${\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx+C}$

${\displaystyle \int {f'(x) \over f(x)}\,dx=\ln {\left|f(x)\right|}+C}$

${\displaystyle \int {f'(x)f(x)}\,dx={1 \over 2}[f(x)]^{2}+C}$

${\displaystyle \int [f(x)]^{n}f'(x)\,dx={[f(x)]^{n+1} \over n+1}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}$

Интеграли на прости функции

Рационални функции

Още интеграли: Таблица с интеграли на рационални функции

${\displaystyle \int \,{\rm {d}}x=x+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1}$

${\displaystyle \int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C}$

${\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C}$

Ирационални функции

Още интеграли: Таблица с интеграли на ирационални функции

${\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C}$

${\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C}$

${\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\operatorname {arcsec} {|x| \over a}+C}$

Логаритми

Още интеграли: Таблица с интеграли на логаритмични функции

${\displaystyle \int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C}$

${\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}$

Експоненциални функции

Още интеграли: Таблица с интеграли на експоненциални функции

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}$

Тригонометрични функции

Още интеграли: Таблица с интеграли на тригонометрични функции и Списък на интеграли на обратни тригонометрични функции

${\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}$

${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}$

${\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}$

${\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}$

Хиперболични функции

Още интеграли: Таблица с интеграли на хиперболични функции

${\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}$

${\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}$

${\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C}$

${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C}$

Обратни хиперболични функции

${\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C}$

Специални функции

^{Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.}